分治算法详解_分治法的迭代法求解

分治算法介绍

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。

求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

基本原理

当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。

分治模式中，我们递归地求解一个问题，在每层递归中应用如下三个步骤：

• 分解（Divide)步骤将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小。
• 解决(Conquer)步骤递归地求解出子问题。如果子问题规模足够小，则停止递归，直接求解。
• 合并（Combine）步骤将子问题的解合并为原问题的解。

当子问题足够大，需要递归求解时，我们称之为递归情况（recursive case）。当子问题变得足够小，不再需要递归时，我们说递归已经”触底“，进入了基本情况（base case）。有时，除了与原问题形式完全一样的规模更小的子问题外，还需要求解与原问题不完全一样的子问题。我们将这些子问题的求解看做合并步骤的一部分。

利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。

应用场景

运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：

1. 原问题可以分解为多个子问题

   这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。

2. 原问题在分解过程中，递归地求解子问题

   由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。

3. 在求解并得到各个子问题的解后

   应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。

在各种排序方法中，如归并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。

分治算法的时间复杂度

分治算法的时间复杂度分析我们可以用递推公式和递归树。

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

由此可求得起时间复杂度为 O（nlogn）.

经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

分治算法实战

二分搜索

二分搜索是分治的一个实例，只不过二分搜索有着自己的特殊性

序列有序
结果为一个值
正常二分将一个完整的区间分成两个区间，两个区间本应单独找值然后确认结果，但是通过有序的区间可以直接确定结果在那个区间，所以分的两个区间只需要计算其中一个区间，然后继续进行一直到结束。实现方式有递归和非递归，但是非递归用的更多一些：

public int searchInsert(int[] nums, int target) {
  if(nums[0]>=target)return 0;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]==target)return nums.length-1;//剪枝
  if(nums[nums.length-1]<target)return nums.length;
  int left=0,right=nums.length-1;
  while (left<right) {
    int mid=(left+right)/2;
    if(nums[mid]==target)
      return mid;
    else if (nums[mid]>target) {
      right=mid;
    }
    else {
      left=mid+1;
    }
  }
  return left;
}

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快速排序

快排也是分治的一个实例，快排每一趟会选定一个数，将比这个数小的放左面，比这个数大的放右面，然后递归分治求解两个子区间，当然快排因为在分的时候就做了很多工作，当全部分到最底层的时候这个序列的值就是排序完的值。这是一种分而治之的体现。

public void quicksort(int [] a,int left,int right)
{
  int low=left;
  int high=right;
  //下面两句的顺序一定不能混，否则会产生数组越界！！！very important！！！
  if(low>high)//作为判断是否截止条件
    return;
  int k=a[low];//额外空间k，取最左侧的一个作为衡量，最后要求左侧都比它小，右侧都比它大。
  while(low<high)//这一轮要求把左侧小于a[low],右侧大于a[low]。
  {
    while(low<high&&a[high]>=k)//右侧找到第一个小于k的停止
    {
      high--;
    }
    //这样就找到第一个比它小的了
    a[low]=a[high];//放到low位置
    while(low<high&&a[low]<=k)//在low往右找到第一个大于k的，放到右侧a[high]位置
    {
      low++;
    }
    a[high]=a[low];			
  }
  a[low]=k;//赋值然后左右递归分治求之
  quicksort(a, left, low-1);
  quicksort(a, low+1, right);		
}


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最大子序列和

最大子序列和的问题我们可以使用动态规划的解法，但是也可以使用分治算法来解决问题，但是最大子序列和在合并的时候并不是简单的合并，因为子序列和涉及到一个长度的问题，所以正确结果不一定全在最左侧或者最右侧，而可能出现结果的区域为：

• 完全在中间的左侧
• 完全在中间的右侧
• 包含中间左右两个节点的一个序列

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int max=maxsub(nums,0,nums.length-1);
    return max;
}
int maxsub(int nums[],int left,int right)
{
    if(left==right)
        return  nums[left];
    int mid=(left+right)/2;
    int leftmax=maxsub(nums,left,mid);//左侧最大
    int rightmax=maxsub(nums,mid+1,right);//右侧最大

    int midleft=nums[mid];//中间往左
    int midright=nums[mid+1];//中间往右
    int team=0;
    for(int i=mid;i>=left;i--)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midleft)
            midleft=team;
    }
    team=0;
    for(int i=mid+1;i<=right;i++)
    {
        team+=nums[i];
        if(team>midright)
            midright=team;
    }
    int max=midleft+midright;//中间的最大值
    if(max<leftmax)
        max=leftmax;
    if(max<rightmax)
        max=rightmax;
    return  max;
}

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