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四旋翼无人机动力学模型建立

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-06-12 12:24:03

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无人机动力学模型

1、坐标系的建立及坐标变换

地理坐标系 $O_a(X_a,Y_a,Z_a)$ 的原点定义为起飞前的位置， $X$ 轴与 $Y$ 轴在同一平面内且相互垂直， $Z$ 轴垂直向上；
机体坐标系 $O_b(X_b,Y_b,Z_b)$ 以4个旋翼的相交点为原点， $X$ 轴指向电机1， $Y$ 轴指向电机4， $Z$ 轴垂直于机身向上。
在这里插入图片描述
机体坐标系转为地理坐标系的旋转矩阵为：
$R_b^n=R_{Z_b}R_{Y_b}R_{X_b}=\left[$

\begin{matrix} C (θ) C (ψ) & S (φ) S (θ) C (ψ) - C (φ) S (ψ) & C (φ) S (θ) C (ψ) + S (φ) S (ψ) \\ C (θ) S (ψ) & S (φ) S (θ) S (ψ) + C (φ) C (ψ) & C (φ) S (θ) S (ψ) - S (φ) C (ψ) \\ - S (θ) & S (φ) C (θ) & C (φ) C (θ) \end{matrix}

$\begin{matrix} C(\theta)C(\psi)&S(\varphi)S(\theta)C(\psi)-C(\varphi)S(\psi)&C(\varphi)S(\theta)C(\psi)+S(\varphi)S(\psi)\\ C(\theta)S(\psi)&S(\varphi)S(\theta)S(\psi)+C(\varphi)C(\psi)&C(\varphi)S(\theta)S(\psi)-S(\varphi)C(\psi)\\ -S(\theta)&S(\varphi)C(\theta)&C(\varphi)C(\theta)\\ \end{matrix}$ \right]\tag{1}

R_{b}^{n} = R_{Z_{b}} R_{Y_{b}} R_{X_{b}} = C (θ) C (ψ) C (θ) S (ψ) - S (θ) S (φ) S (θ) C (ψ) - C (φ) S (ψ) S (φ) S (θ) S (ψ) + C (φ) C (ψ) S (φ) C (θ) C (φ) S (θ) C (ψ) + S (φ) S (ψ) C (φ) S (θ) S (ψ) - S (φ) C (ψ) C (φ) C (θ) (1)

2、动力学模型建立

	向量
位置向量	$\eta=[x,y,z]$
姿态向量	$\xi=[\varphi,\theta,\psi]$
速度向量	$v=[\dot x,\dot y,\dot z]$
欧拉角速率向量	$\omega=[\dot\varphi,\dot\theta,\dot\psi]=[p,q,r]$

2.1 质心平动方程

$F_{sum}=F_n-F_g-F_f=m\frac{dv}{dt}\tag{2}$

其中， $F_n$ 为四旋翼升力合， $F_g$ 为机体自身重力， $F_f$ 为空气阻力。

1、四旋翼升力合

旋翼上的电机产生的升力正比于电机转速的平方，如下：
$F_i = K\omega_i^2\quad\quad(i=1,2,3,4)$

其中， $K$ 为升力系数。则四旋翼的升力合为：
$F_b = \sum_{i=1}^4F_i = F_1+F_2+F_3+F_4 = K\sum_{i=1}^4\omega_i^2$

由于高度是通过四旋翼的总升力进行控制的，由上式可得高度通道的虚拟控制量，不妨将其定义为 $U_1$ ，即
$U_1=K(\omega_1^2+\omega_2^2+\omega_3^2+\omega_4^2)$

将 $U 1$ 变换到地理坐标系中，既有：
$F_n = R_b^n[0,0,U_1]^T\tag{3}$

2、机体的重力

在地理坐标系下，重力始终向下，有
$F_g = [0,0,mg]^T\tag{4}$

3、空气阻力

空气对无人机所施加的阻力大小与其飞行速度成正比，有
$F_f=[k_x\dot x,k_y\dot y,k_z\dot z]\tag{5}$

其中， $k_x,k_y,k_z$ 是由空气阻力系数在四旋翼三个坐标轴下进行分解得到的。
结合公式（1）-（5），有：
$F_n-F_g-F_f = R_b^n\left[$

\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ U_{1} \end{matrix}

$\begin{matrix} 0\\ 0\\ U_1\\ \end{matrix}$ \right]- \left[

\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ m g \end{matrix}

$\begin{matrix} 0\\ 0\\ mg\\ \end{matrix}$ \right]- \left[

\begin{matrix} k_{x} \dot{x} \\ k_{y} \dot{y} \\ k_{z} \dot{z} \end{matrix}

$\begin{matrix} k_x\dot x\\ k_y\dot y\\ k_z\dot z\\ \end{matrix}$ \right] = m\frac{dv}{dt}

F_{n} - F_{g} - F_{f} = R_{b}^{n} 00 U_{1} - 00 m g - k_{x} \overset{x}{˙} k_{y} \overset{y}{˙} k_{z} \overset{z}{˙} = m \frac{d v}{d t}

两边同除以

m

，再代入

R_b^n

，最终质心的平动方程为：

{\begin{cases} \ddot{x} = \frac{U_{1}}{m} (\cos φ \sin θ \cos ψ + \sin φ \sin ψ) - \frac{k_{x} \dot{x}}{m} \\ \ddot{y} = \frac{U_{1}}{m} (\cos φ \sin θ \sin ψ - \sin φ \cos ψ) - \frac{k_{y} \dot{y}}{m} \\ \ddot{z} = \frac{U_{1}}{m} \cos φ \cos θ - g - \frac{k_{z} \dot{z}}{m} \end{cases}

2.2 绕质心的转动方程

根据欧拉定理，绕质心的转动方程为：
$M=I\dot\omega+\omega\times I\omega$

其中， $I$ 为转动惯量矩阵，且只有在对角线上才有数值，
$I=\left[$

\begin{matrix} I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \end{matrix}

$\begin{matrix} I_x&0&0\\ 0&I_y&0\\ 0&0&I_z\\ \end{matrix}$ \right]

I = I_{x} 00 0 I_{y} 0 00 I_{z}

四旋翼无人机的力矩来源有：旋翼力矩 $M_1$ 、陀螺力矩 $M_2$ 、空气阻力力矩 $M_3$ 。则合外力矩 $M$ 的表达式为：
$M=M_1+M_2+M_3$

1、旋翼力矩 $M_1$

在旋翼力矩中，滚转力矩 $M_\varphi$ 和俯仰力矩 $M_\theta$ 的产生是由同一转轴上的两电机转速不相等，导致该转轴存在升力差，进而升力作用于旋翼上所致。
而偏航力矩 $M_\psi$ 是由富余的反扭矩产生的，即 $X$ 轴和 $Y$ 轴上两旋翼作用于机身的反扭距存在偏差，这样在保证四旋翼总升力不变的同时，总的反扭距不为 0，从而使四旋翼绕 $Z$ 轴转动。
$M_1=\left[$

\begin{matrix} M_{φ} \\ M_{θ} \\ M_{ψ} \end{matrix}

$\begin{matrix} M_\varphi\\ M_\theta\\ M_\psi\\ \end{matrix}$ \right]= \left[

\begin{matrix} U_{2} \\ U_{3} \\ U_{4} \end{matrix}

$\begin{matrix} U_2\\ U_3\\ U_4\\ \end{matrix}$ \right]= \left[

\begin{matrix} K l (- ω_{2}^{2} + ω_{4}^{2}) \\ K l (- ω_{1}^{2} + ω_{3}^{2}) \\ K_{d} l (- ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} - ω_{3}^{2} + ω_{4}^{2}) \end{matrix}

$\begin{matrix} Kl(-\omega_2^2+\omega_4^2)\\ Kl(-\omega_1^2+\omega_3^2)\\ K_dl(-\omega_1^2+\omega_2^2-\omega_3^2+\omega_4^2)\\ \end{matrix}$ \right]

M_{1} = M_{φ} M_{θ} M_{ψ} = U_{2} U_{3} U_{4} = K l (- ω_{2}^{2} + ω_{4}^{2}) K l (- ω_{1}^{2} + ω_{3}^{2}) K_{d} l (- ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} - ω_{3}^{2} + ω_{4}^{2})

其中， $K_d$ 为反扭距系数； $l$ 为四旋翼各旋翼的中心到其质心的距离； $U_2,U_3,U_4$ 分别为滚转、俯仰和偏航通道的虚拟控制量。

2、陀螺力矩 $M_2$

根据角动量定理，当四旋翼做出倾斜的滚转或俯仰运动时，其转轴的角速度会有所改变，则此时电机会给旋翼施加一个力矩，称为陀螺力矩，它将迫使机体旋转。需注意的是，四旋翼悬停或偏航运动的过程中，陀螺力矩是不存在的。
$M_2 = \omega\times J_{RP}[0,0,1]^T = J_{RP}[-q,p,0]^T\Omega$

其中，螺旋桨的转动惯量用 $J_{RP}$ 表示； $\Omega = -\omega_1+\omega_2-\omega_3+\omega_4$ 为电机转速的代数和。

3、空气阻力力矩 $M_3$

空气阻力力矩是由空气阻力作用于旋翼上所形成的，其在 3 个坐标轴下的分量 $M_{3x},M_{3y},M_{3z}$ 与机体角速度 $\omega_x,\omega_y,\omega_z$ 成正比。又因为四旋翼通常以较小的姿态角进行飞行的，所以 $\omega_x,\omega_y,\omega_z$ 近似为欧拉角速率向量 $\omega=[p,q,r]$ ，即
$\left[$

\begin{matrix} ω_{x} \\ ω_{y} \\ ω_{z} \end{matrix}

$\begin{matrix} \omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ \end{matrix}$ \right]= \left[

\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}

$\begin{matrix} p\\ q\\ r\\ \end{matrix}$ \right]

ω_{x} ω_{y} ω_{z} = p q r

那么，空气阻力力矩的表达式为：
$M_3 = [k_\varphi p,k_\theta q,k_\psi r]^T$

其中， $k_\varphi,k_\theta,k_\psi$ 分别为总阻力转矩系数在 $X, Y, Z$ 轴的分量。

四旋翼绕质心的转动方程为：

{\begin{cases} \ddot{φ} = \frac{I_{y} - I_{z}}{I_{x}} \dot{θ} \dot{ψ} - \frac{J_{R P}}{I_{x}} \dot{θ} Ω + \frac{U_{2}}{I_{x}} - \frac{k_{φ} p}{I_{x}} \\ \ddot{θ} = \frac{I_{z} - I_{x}}{I_{y}} \dot{φ} \dot{ψ} - \frac{J_{R P}}{I_{y}} \dot{φ} Ω + \frac{U_{3}}{I_{y}} - \frac{k_{θ} q}{I_{y}} \\ \ddot{ψ} = \frac{I_{x} - I_{y}}{I_{z}} \dot{φ} \dot{θ} + \frac{U_{4}}{I_{z}} - \frac{k_{ψ} r}{I_{z}} \end{cases}

$\begin{cases} \ddot\varphi = \dfrac{I_y-I_z}{I_x}\dot\theta\dot\psi - \dfrac{J_{RP}}{I_x}\dot\theta\Omega + \dfrac{U_2}{I_x} - \dfrac{k_\varphi p }{I_x}\\[2ex] \ddot\theta = \dfrac{I_z-I_x}{I_y}\dot\varphi\dot\psi - \dfrac{J_{RP}}{I_y}\dot\varphi\Omega + \dfrac{U_3}{I_y} - \dfrac{k_\theta q}{I_y}\\[2ex] \ddot\psi = \dfrac{I_x-I_y}{I_z}\dot\varphi\dot\theta + \dfrac{U_4}{I_z} - \dfrac{k_\psi r}{I_z}\\ \end{cases}$

⎩ ⎨ ⎧ \overset{φ}{¨} = \frac{I _{y} - I _{z}}{I _{x}} \dot{θ} \dot{ψ} - \frac{J _{RP}}{I _{x}} \dot{θ} Ω + \frac{U _{2}}{I _{x}} - \frac{k _{φ} p}{I _{x}} \ddot{θ} = \frac{I _{z} - I _{x}}{I _{y}} \overset{φ}{˙} \dot{ψ} - \frac{J _{RP}}{I _{y}} \overset{φ}{˙} Ω + \frac{U _{3}}{I _{y}} - \frac{k _{θ} q}{I _{y}} \ddot{ψ} = \frac{I _{x} - I _{y}}{I _{z}} \overset{φ}{˙} \dot{θ} + \frac{U _{4}}{I _{z}} - \frac{k _{ψ} r}{I _{z}}

最终得到四旋翼无人机动力学模型为：

{\begin{cases} \ddot{x} = \frac{U_{1}}{m} (\cos φ \sin θ \cos ψ + \sin φ \sin ψ) - \frac{k_{x} \dot{x}}{m} \\ \ddot{y} = \frac{U_{1}}{m} (\cos φ \sin θ \sin ψ - \sin φ \cos ψ) - \frac{k_{y} \dot{y}}{m} \\ \ddot{z} = \frac{U_{1}}{m} \cos φ \cos θ - g - \frac{k_{z} \dot{z}}{m} \\ \ddot{φ} = \frac{I_{y} - I_{z}}{I_{x}} \dot{θ} \dot{ψ} - \frac{J_{R P}}{I_{x}} \dot{θ} Ω + \frac{U_{2}}{I_{x}} - \frac{k_{φ} p}{I_{x}} \\ \ddot{θ} = \frac{I_{z} - I_{x}}{I_{y}} \dot{φ} \dot{ψ} - \frac{J_{R P}}{I_{y}} \dot{φ} Ω + \frac{U_{3}}{I_{y}} - \frac{k_{θ} q}{I_{y}} \\ \ddot{ψ} = \frac{I_{x} - I_{y}}{I_{z}} \dot{φ} \dot{θ} + \frac{U_{4}}{I_{z}} - \frac{k_{ψ} r}{I_{z}} \end{cases}

$\begin{cases} \ddot{x} = \dfrac{U_1}{m}(\cos\varphi\sin\theta\cos\psi+\sin\varphi\sin\psi) - \dfrac{k_x\dot x}{m}\\[2ex] \ddot y = \dfrac{U_1}{m}(\cos\varphi\sin\theta\sin\psi-\sin\varphi\cos\psi) - \dfrac{k_y\dot y}{m}\\[2ex] \ddot z = \dfrac{U_1}{m}\cos\varphi\cos\theta - g - \dfrac{k_z\dot z}{m}\\[2ex] \ddot\varphi = \dfrac{I_y-I_z}{I_x}\dot\theta\dot\psi - \dfrac{J_{RP}}{I_x}\dot\theta\Omega + \dfrac{U_2}{I_x} - \dfrac{k_\varphi p }{I_x}\\[2ex] \ddot\theta = \dfrac{I_z-I_x}{I_y}\dot\varphi\dot\psi - \dfrac{J_{RP}}{I_y}\dot\varphi\Omega + \dfrac{U_3}{I_y} - \dfrac{k_\theta q}{I_y}\\[2ex] \ddot\psi = \dfrac{I_x-I_y}{I_z}\dot\varphi\dot\theta + \dfrac{U_4}{I_z} - \dfrac{k_\psi r}{I_z}\\ \end{cases}$

⎩ ⎨ ⎧ \overset{x}{¨} = \frac{U _{1}}{m} (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) - \frac{k _{x} x ˙}{m} \overset{y}{¨} = \frac{U _{1}}{m} (cos φ sin θ sin ψ - sin φ cos ψ) - \frac{k _{y} y ˙}{m} \overset{z}{¨} = \frac{U _{1}}{m} cos φ cos θ - g - \frac{k _{z} z ˙}{m} \overset{φ}{¨} = \frac{I _{y} - I _{z}}{I _{x}} \dot{θ} \dot{ψ} - \frac{J _{RP}}{I _{x}} \dot{θ} Ω + \frac{U _{2}}{I _{x}} - \frac{k _{φ} p}{I _{x}} \ddot{θ} = \frac{I _{z} - I _{x}}{I _{y}} \overset{φ}{˙} \dot{ψ} - \frac{J _{RP}}{I _{y}} \overset{φ}{˙} Ω + \frac{U _{3}}{I _{y}} - \frac{k _{θ} q}{I _{y}} \ddot{ψ} = \frac{I _{x} - I _{y}}{I _{z}} \overset{φ}{˙} \dot{θ} + \frac{U _{4}}{I _{z}} - \frac{k _{ψ} r}{I _{z}}

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