MIT线性代数笔记02-矩阵消元_消元矩阵e41(1)d表示什么意思

Linear Algebra-Lecture02 矩阵消元

Gilbert Strang

本节目标

\qquad 几乎所有软件求解线性方程组都是使用的也是消元法。本节将学会用矩阵语言描述消元法，因为对于整个课程而言，核心概念是“矩阵变换”。

第一部分： 消元法

\qquad 例1,求解方程组
{ x + 2 y + z = 2 ( 1 ) 3 x + 8 y + z = 12 ( 2 ) 4 y + z = 2 ( 3 ) \left \{

$$\begin{matrix} x+2y+z=2 & \qquad (1)\\ 3x+8y+z=12& \qquad (2)\\ 4y+z=2& \qquad (3) \end{matrix}$$ \right .\qquad\qquad ⎩⎨⎧​x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2​(1)(2)(3)​

\qquad 写成矩阵形式：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$,其中 A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] r 1 r 2 r 3 \bold{A}=\left [

$$\begin{matrix} 1&2&1\\ 3&8&1\\ 0&4&1 \end{matrix}$$ \right ] \left . $$\begin{matrix} \qquad r1\\\qquad r2\\\qquad r3 \end{matrix}$$ \right . A=⎣⎡​130​284​111​⎦⎤​r1r2r3​

[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] \left[

$$\begin{matrix} \boxed{1}&2&1\\ 3&8&1\\ 0&4&1 \end{matrix}$$ \right ] ⎣⎡​1​30​284​111​⎦⎤​
第一步，将$a_{11}=1$ 确定为主元一（first pivot）,与$x$对应，第r1行不变。确定消元系数使得主元行$a_{11}$下方的系数都变为0 。这里r2-3r1，r3-0r1得：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& \boxed{2}& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$

第二步，将$a_{22}=2$ 确定为主元二（second pivot），与$y$对应，第r2行不变。确定消元系数使得主元行$a_{22}$下方的系数都变为0，即使用主元二消掉$a_{32}$ 。这里r3-2*r2即可，得：

[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] = U \left[

$$\begin{matrix} 1&2&1\\ 0&2&-2\\ 0&0&\boxed{5} \end{matrix}$$ \right ]=\bold{U} ⎣⎡​100​220​1−25​​⎦⎤​=U
将行阶梯矩阵矩阵命名为$\mathbf{U}$ ，因此消元的目的就是从$\mathbf{A}$ 变到 $\mathbf{U}$ ，这是计算科学中最普遍的运算 ,注意，消元过程中主元不能为0 。顺便，行列式等于主元之积。

消元失效的情形：
1. \quad 0占据了主元位置，比如 $a_{11}=0$ ，解决方式：进行行交换。
2. \quad 若主元个数小于行阶梯矩阵行数，则方程无解。

第三步，回代
将等号右边的常数列加入到矩阵$\mathbf{A}$ 中，得到增广矩阵，将最后一列(b列)同样进行上述操作。
[ 1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2 ] → [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 4 1 2 ] → [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 0 5 − 10 ] \left [

$$\begin{matrix} 1&2&1&2\\ 3&8&1&12\\ 0&4&1&2 \end{matrix}$$ \right ]\rightarrow \left [ $$\begin{matrix} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1&2 \end{matrix}$$ \right ] \rightarrow \left [ $$\begin{matrix} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5&-10 \end{matrix}$$ \right ] ⎣⎡​130​284​111​2122​⎦⎤​→⎣⎡​100​224​1−21​262​⎦⎤​→⎣⎡​100​220​1−25​26−10​⎦⎤​
将增广矩阵最后一列命名为c，即$\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right)$
(这里先处理A再处理增广矩阵，主要是保持和Matlab的习惯一致)
至此，方程组变为：
$$\{\begin{array}{cc}x+2y+z=2& \\ 2y-2z=6& \\ 5z=-10& \end{array}（4）$$
由方程（4）易得方程的解为$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1\\ z=-2\end{array}$
方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$等价于$\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{c}$

第二部分： 消元过程的矩阵表示

用矩阵表示r2-3r1：
[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] \left[

$$\begin{matrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}$$ \right ] \left[ $$\begin{matrix} 1&2&1\\ 3&8&1\\ 0&4&1 \end{matrix}$$ \right ]= \left[ $$\begin{matrix} 1&2&1\\ 0&2&-2\\ 0&4&1 \end{matrix}$$ \right ] ⎣⎡​1−30​010​001​⎦⎤​⎣⎡​130​284​111​⎦⎤​=⎣⎡​100​224​1−21​⎦⎤​
将最左边矩阵记作${\mathbf{E}}_{21}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ ，表示$a_{21}$位置上的变换。同理，r3-2r2可以表示为
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$
将最左边矩阵记作${\mathbf{E}}_{32}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]$ ，表示$a_{21}$位置上的变换。
消元的完整过程用矩阵表示如下：
$${\mathbf{E}}_{32}({\mathbf{E}}_{21}\mathbf{A})=\mathbf{U}(5)$$
矩阵乘法具有结合律（此处不作证明，注意没哟交换律），因此(5)式也可写成
$$（{\mathbf{E}}_{32}{\mathbf{E}}_{21}）\mathbf{A}=\mathbf{U}(6)$$
（补充）置换矩阵（permutation）：

交换行
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$$
最左边的矩阵为置换矩阵，记为$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
不难发现，对单位矩阵进行行变换就能得到置换矩阵。

交换列：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right]$$
左乘置换矩阵，进行行变换，右乘置换矩阵，交换列。行变换左乘，列变换右乘

第三部分： 逆矩阵

逆变换（$\mathbf{U}\to \mathbf{A}$）
[ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \left[

$$\begin{matrix} 1&0&0\\ 3&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}$$ \right ] \left[ $$\begin{matrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}$$ \right ]= \left[ $$\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}$$ \right ] ⎣⎡​130​010​001​⎦⎤​⎣⎡​1−30​010​001​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​

E = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] \bold{E}=\left[

$$\begin{matrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}$$ \right ] E=⎣⎡​1−30​010​001​⎦⎤​ 则记${\mathbf{E}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ ,

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \bold{I}=\left[

$$\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}$$ \right ] I=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​
$${\mathbf{E}}^{-1}\mathbf{E}=\mathbf{I}(7)$$

===================================================

课程资源

• 主课：bilibli、网易公开课都可以搜到，关键字（麻省理工，线性代数）
• 配套习题课：bilibli可以搜到，关键字（麻省理工，线性代数，陈莉楠）
• 教材：Gilbert Strang.Introduction to Linear Algebra
• 课程官网：http://web.mit.edu/18.06
  \qquad\qquad https://mitmath.github.io/1806/