【洛谷 P9420】[蓝桥杯 2023 国 B] 子 2023 / 双子数 题解（动态规划+欧拉筛法+暴力枚举+提交答案）_蓝桥杯国赛2023题解

[蓝桥杯 2023 国 B] 子 2023 / 双子数

题目描述

A 子 2023

小蓝在黑板上连续写下从 $1$ 到 $2023$ 之间所有的整数，得到了一个数字序列：

$$S=12345678910111213\cdots 20222023$$

小蓝想知道 $S$ 中有多少种子序列恰好等于 $2023$？

提示，以下是 $3$ 种满足条件的子序列（用中括号标识出的数字是子序列包含的数字）：

$$1[\text{2}]34567891[\text{0}]111[\text{2}]1[\text{3}]14151617181920212223\cdots$$

$$1[\text{2}]34567891[\text{0}]111[\text{2}]131415161718192021222[\text{3}]\cdots$$

$$1[\text{2}]34567891[\text{0}]111213141516171819[\text{2}]021222[\text{3}]\cdots$$

注意以下是不满足条件的子序列，虽然包含了 $2$、$0$、$2$、$3$ 四个数字，但是顺序不对：

$$1[\text{2}]345678910111[\text{2}]131415161718192[\text{0}]21222[\text{3}]\cdots$$

B 双子数

若一个正整数 $x$ 可以被表示为 $p^2\times q^2$，其中 $p$、$q$ 为质数且 $p\ne q$，则 $x$ 是
一个 “双子数”。请计算区间 $[2333,23333333333333]$ 内有多少个 “双子数”？

输入格式

输入一个大写字母，表示第几个问题。

输出格式

根据所输入的问题编号，输出对应问题的答案。

提示

答题模板，可供参考。

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    string ans [] = {
        "The answer of task A", // 双引号中替换为 A 题的答案
        "The answer of task B", // 双引号中替换为 B 题的答案
    };
    char T;
    cin >> T;
    cout << ans[T - 'A'] << endl;
    return 0;
}
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第十四届蓝桥杯大赛软件赛决赛 C/C++ 大学 B 组 A、B 题

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思路

如果输入的字符是’A’，则执行solve1()函数解决子2023问题，否则执行solve2()函数解决双子数问题。

在solve1()函数中，首先创建一个字符串s，将1到2023的所有整数转换为字符串并连接起来。然后，使用动态规划的方法来找出所有子序列等于"2023"的数量。dp[i]存储的是当前字符串中"2023"的前i个字符的子序列的数量。然后遍历字符串s，如果当前字符与"2023"的某个字符相同，就将dp[j]增加dp[j-1]，这样就可以累计计算出所有子序列等于"2023"的数量。

在solve2()函数中，首先使用欧拉筛法找出所有小于等于sqrt(maxi)的质数，并将其存储在pri数组中。然后，计算所有质数的平方，并将结果存储在p2数组中。接着，遍历p2数组，找出所有满足条件的双子数（即可以表示为两个不同质数的平方的乘积，并且在给定的区间内）。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e7 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll dp[15];
string s = " ";
string target = " 2023";

bitset<N> vis;
ll pri[N];
int cnt = 0;
ll p2[N];

void solve1() {
	memset(dp, 0, sizeof(dp));

	for (int i = 1; i <= 2023; i++) {
		s += to_string(i);
	}
	int len = s.length() - 1;
	// cout << s << endl;

	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= len; i++) {
		for (int j = 1; j <= 4; j++) {
			if (s[i] == target[j]) {
				dp[j] += dp[j - 1];
			}
		}
	}
	cout << dp[4] << "\n";
}

void solve2() {
	ll mini = 2333;
	ll maxi = 23333333333333;
	int sm = sqrt(maxi);
	for (int i = 2; i <= sm; i++) {
		if (!vis[i]) {
			pri[cnt++] = i;
		}
		for (int j = 0; j < cnt && i * pri[j] <= sm; j++) {
			vis[i * pri[j]] = 1;
			if (i % pri[j] == 0) {
				break;
			}
		}
	}

	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		p2[i] = 1LL * pri[i] * pri[i];
	}

	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		if (p2[i] * p2[i] > maxi) {
			break;
		}
		for (int j = i + 1; j < cnt; j++) {
			ll p2q2 = p2[i] * p2[j];
			if (mini > p2q2) {
				continue;
			}
			if (maxi < p2q2) {
				break;
			}
			ans++;
		}
	}
	cout << ans << endl;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	if (getchar() == 'A') {
		solve1();
	} else {
		solve2();
	}
	return 0;
}
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