【高阶数据结构】跳表 -- 详解_跳表的概率和最高层数选择

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。
3. skiplist 正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到 O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2:1 的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成 O(n)。
4. skiplist 的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是
   插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，
   这样就好处理多了。细节过程入下图：

在 Redis 的 skiplist 实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4
maxLevel = 32

• 节点层数至少为 1。而大于 1 的节点层数，满足一个概率分布。
• 节点层数恰好等于 1 的概率为 1-p。
• 节点层数大于等于 2 的概率为 p，而节点层数恰好等于 2 的概率为 p(1-p)。
• 节点层数大于等于 3 的概率为 p^2，而节点层数恰好等于 3 的概率为 p^2*(1-p)。
• 节点层数大于等于 4 的概率为 p^3，而节点层数恰好等于 4 的概率为 p^3*(1-p)。
• ……

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

• 当 p=1/2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2。
• 当 p=1/4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。

跳表的平均时间复杂度为 O(logN)。

可以了解学习：Redis 内部数据结构详解 —— skiplist-CSDN博客

---

三、skiplist 的实现

力扣对应题目链接：1206. 设计跳表 - 力扣（LeetCode）

//力扣AC代码
struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;
 
    SkiplistNode(int val, int level)
        : _val(val)
        , _nextV(level, nullptr)
    {}
};
 
class Skiplist {
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist()
    {
        srand(time(0));
 
        // 头节点，层数是1
        _head = new SkiplistNode(-1, 1);
    }
    
    bool search(int target)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while(level >= 0)
        {
            // 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走
            if(cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val)
            {
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            // 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
            {
                level--;
            }
            else
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
 
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
	{
		Node* cur = _head;
		int level = _head->_nextV.size() - 1;
 
		// 插入位置每一层前一个节点指针
		vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
 
		while (level >= 0)
		{
			// 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走
			if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
			{
				cur = cur->_nextV[level];
			}
			// 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走
			else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
			{
				// 更新level层前一个
				prevV[level] = cur;
				level--;
			}
		}
		return prevV;
	}
    
    void add(int num)
    {
        // 插入位置每一层的前一个节点指针
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
 
        int n = RandomLevel();
		Node* newnode = new Node(num, n);
 
		// 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数
		if (n > _head->_nextV.size())
		{
			_head->_nextV.resize(n, nullptr);
			prevV.resize(n, _head);
		}
 
        // 链接前后节点
		for (size_t i = 0; i < n; ++i)
		{
			newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
			prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
		}
    }
    
    bool erase(int num)
    {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
 
		// 第一层下一个不是val，说明val不在表中
		if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
		{
			return false;
		}
		else
		{
			Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
			// del节点每一层的前后指针链接起来
			for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
			{
				prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
			}
			delete del;
 
            // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下
			int i = _head->_nextV.size() - 1;
			while (i >= 0)
			{
				if (_head->_nextV[i] == nullptr) i--;
				else break;
			}
			_head->_nextV.resize(i + 1);
			return true;
		}
    }
 
    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;
        // rand() -> [0, RAND_MAX]
        while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
        {
            level++;
        }
        return level;
    }
 
private:
    Node* _head; // 头节点
    size_t _maxLevel = 32;
    double _p = 0.25;
};
 
/**
 * Your Skiplist object will be instantiated and called as such:
 * Skiplist* obj = new Skiplist();
 * bool param_1 = obj->search(target);
 * obj->add(num);
 * bool param_3 = obj->erase(num);
 */

了解更多，可以参考：跳表 - OI Wiki (oi-wiki.org)

---

四、skiplist 跟平衡搜索树和哈希表的对比

skiplist 相比平衡搜索树（AVL 树和红黑树）对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。

skiplist 的优势是：

1. skiplist 实现简单，容易控制。而平衡树增删查改遍历都更复杂。
2. skiplist 的额外空间消耗更低。而平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。

skiplist 中当 p=1/2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2。

skiplist 中当 p=1/4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。

---

skiplist 相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言：

• 哈希表非极端场景下哈希冲突的平均时间复杂度是 O(1)，比 skiplist 快。
• 哈希表空间消耗略多一点。

skiplist 优势如下：

1. 遍历数据有序。
2. skiplist 空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。
3. 哈希表扩容有性能损耗。
4. 哈希表在极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。