机器学习：逻辑回归

一、逻辑回归介绍

逻辑回归（Logistic Regression）是机器学习中的一种分类模型，逻辑回归是一种分类算法，虽然名字中带有回归。由于算法的简单和高效，在实际中应用非常广泛。

1 逻辑回归的应用场景

• 广告点击率
• 是否为垃圾邮件
• 是否患病
• 金融诈骗
• 虚假账号

看到上面的例子，我们可以发现其中的特点，那就是都属于两个类别之间的判断。逻辑回归就是解决二分类问题的利器

2 逻辑回归的原理

要想掌握逻辑回归，必须掌握两点：

• 逻辑回归中，其输入值是什么
• 如何判断逻辑回归的输出

2.1 输入

$$h(w)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3.....+b$$

逻辑回归的输入就是一个线性回归的结果。

2.2 激活函数

• sigmoid函数
  $$g(w^T,x)=\frac{1}{1+e^{-h(w)}}=\frac{1}{1+e^{-h(w^{T}x)}}$$

• 判断标准

  • 回归的结果输入到sigmoid函数当中
  • 输出结果：[0, 1]区间中的一个概率值，默认为0.5为阈值

逻辑回归最终的分类是通过属于某个类别的概率值来判断是否属于某个类别，并且这个类别默认标记为1(正例),另外的一个类别会标记为0(反例)。（方便损失计算）

输出结果解释(重要)： 假设有两个类别A，B，并且假设我们的概率值为属于A(1)这个类别的概率值。现在有一个样本的输入到逻辑回归输出结果0.55，那么这个概率值超过0.5，意味着我们训练或者预测的结果就是A(1)类别。那么反之，如果得出结果为0.3那么，训练或者预测结果就为B(0)类别。

关于逻辑回归的阈值是可以进行改变的，比如上面举例中，如果你把阈值设置为0.6，那么输出的结果0.55，就属于B类。

在之前，我们用最小二乘法衡量线性回归的损失

在逻辑回归中，当预测结果不对的时候，我们该怎么衡量其损失呢？

我们来看下图(下图中，设置阈值为0.6)

那么如何去衡量逻辑回归的预测结果与真实结果的差异呢？

3 损失以及优化

3.1 损失

逻辑回归的损失，称之为对数似然损失，公式如下：

• 分开类别：
  

其中$y$为真实值，$h_{\theta }(x)$为预测值

怎么理解单个的式子呢？这个要根据log的函数图像来理解

无论何时，我们都希望损失函数值，越小越好

分情况讨论，对应的损失函数值：

• 当y=1时，我们希望$h_{\theta }(x)$值越大越好；
• 当y=0时，我们希望$h_{\theta }(x)$值越小越好
• 综合完整损失函数
  

接下来我们呢就带入上面那个例子来计算一遍，就能理解意义了。

我们已经知道，$-log(P)$, $P$值越大，结果越小，所以我们可以对着这个损失的式子去分析

3.2 优化

同样使用梯度下降优化算法，去减少损失函数的值。这样去更新逻辑回归前面对应算法的权重参数，提升原本属于1类别的概率，降低原本是0类别的概率。

二、逻辑回归api介绍

sklearn.linear_model.LogisticRegression(solver='liblinear', penalty=‘l2’, C = 1.0)

• solver可选参数:{‘liblinear’, ‘sag’, ‘saga’,‘newton-cg’, ‘lbfgs’}，
  • 默认: ‘liblinear’；用于优化问题的算法。
  • 对于小数据集来说，“liblinear”是个不错的选择，而“sag”和’saga’对于大型数据集会更快。
  • 对于多类问题，只有’newton-cg’， ‘sag’， 'saga’和’lbfgs’可以处理多项损失;“liblinear”仅限于“one-versus-rest”分类。
• penalty：正则化的种类
• C：正则化力度

默认将类别数量少的当做正例

LogisticRegression方法相当于 SGDClassifier(loss=“log”, penalty=" "),SGDClassifier实现了一个普通的随机梯度下降学习。而使用LogisticRegression(实现了SAG)

三、案例：癌症分类预测-良／恶性乳腺癌肿瘤预测

1 背景介绍

数据介绍

原始数据的下载地址

数据描述：
（1）699条样本，共11列数据，第一列用语检索的id，后9列分别是与肿瘤
相关的医学特征，最后一列表示肿瘤类型的数值。
（2）包含16个缺失值，用”?”标出。

2 案例分析

1.获取数据
2.基本数据处理
2.1 缺失值处理
2.2 确定特征值,目标值
2.3 分割数据
3.特征工程(标准化)
4.机器学习(逻辑回归)
5.模型评估
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3 代码实现

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 如果导入数据的时候需要网址验证，就写以下ssl
import ssl
ssl._create_default_https_context = ssl._create_unverified_context
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# 1.获取数据
names = ['Sample code number', 'Clump Thickness', 'Uniformity of Cell Size', 'Uniformity of Cell Shape',
                   'Marginal Adhesion', 'Single Epithelial Cell Size', 'Bare Nuclei', 'Bland Chromatin',
                   'Normal Nucleoli', 'Mitoses', 'Class']

data = pd.read_csv("https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/breast-cancer-wisconsin/breast-cancer-wisconsin.data",
                  names=names)
data.head()
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# 2.基本数据处理
# 2.1 缺失值处理
data = data.replace(to_replace="?", value=np.NaN)
data = data.dropna()
# 2.2 确定特征值,目标值
x = data.iloc[:, 1:10]
x.head()
y = data["Class"]
y.head()
# 2.3 分割数据
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=22)
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# 3.特征工程(标准化)
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)
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# 4.机器学习(逻辑回归)
estimator = LogisticRegression()
estimator.fit(x_train, y_train)
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# 5.模型评估
y_predict = estimator.predict(x_test)
y_predict
estimator.score(x_test, y_test)
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在很多分类场景当中我们不一定只关注预测的准确率！！！！！

比如以这个癌症举例子！！！我们并不关注预测的准确率，而是关注在所有的样本当中，癌症患者有没有被全部预测（检测）出来。

四、分类评估方法

1.分类评估方法

1.1 精确率与召回率

1.1.1 混淆矩阵

在分类任务下，预测结果(Predicted Condition)与正确标记(True Condition)之间存在四种不同的组合，构成混淆矩阵(适用于多分类)

1.1.2 精确率(Precision)与召回率(Recall)

• 精确率（查准率）：预测结果为正例样本中真实为正例的比例（了解）
  
• 召回率（查全率）：真实为正例的样本中预测结果为正例的比例（查得全，对正样本的区分能力）
  

1.2 F1-score

还有其他的评估标准，F1-score，反映了模型的稳健型

1.3 分类评估报告api

sklearn.metrics.classification_report(y_true, y_pred, labels=[], target_names=None )

• y_true：真实目标值
• y_pred：估计器预测目标值
• labels:指定类别对应的数字
• target_names：目标类别名称
• return：每个类别精确率与召回率

ret = classification_report(y_test, y_predict, labels=(2,4), target_names=("良性", "恶性"))
print(ret)
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假设这样一个情况，如果99个样本癌症，1个样本非癌症，不管怎样我全都预测正例(默认癌症为正例),准确率就为99%但是这样效果并不好，这就是样本不均衡下的评估问题

问题：如何衡量样本不均衡下的评估？

2 ROC曲线与AUC指标

2.1 TPR与FPR

$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$

• 所有真实类别为1的样本中，预测类别为1的比例

$$FPR=\frac{FP}{FP+TN}$$

• 所有真实类别为0的样本中，预测类别为1的比例

2.2 ROC曲线

ROC曲线的横轴就是FPRate，纵轴就是TPRate，当二者相等时，表示的意义则是：对于不论真实类别是1还是0的样本，分类器预测为1的概率是相等的，此时AUC为0.5

2.3 AUC指标

• AUC的概率意义是随机取一对正负样本，正样本得分大于负样本得分的概率
• AUC的范围在[0, 1]之间，并且越接近1越好，越接近0.5属于乱猜
• AUC=1，完美分类器，采用这个预测模型时，不管设定什么阈值都能得出完美预测。绝大多数预测的场合，不存在完美分类器。
• 0.5<AUC<1，优于随机猜测。这个分类器（模型）妥善设定阈值的话，能有预测价值。

2.4 AUC计算API

from sklearn.metrics import roc_auc_score
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sklearn.metrics.roc_auc_score(y_true, y_score)

• 计算ROC曲线面积，即AUC值
• y_true：每个样本的真实类别，必须为0(反例)，1(正例)标记
• y_score：预测得分，可以是正类的估计概率、置信值或者分类器方法的返回值

# 0.5~1之间，越接近于1约好
y_test = np.where(y_test > 2.5, 1, 0)

print("AUC指标：", roc_auc_score(y_test, y_predict)
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• AUC只能用来评价二分类
• AUC非常适合评价样本不平衡中的分类器性能

五、ROC曲线的绘制

关于ROC曲线的绘制过程，通过以下举例进行说明

假设有6次展示记录，有两次被点击了，得到一个展示序列（1:1,2:0,3:1,4:0,5:0,6:0），前面的表示序号，后面的表示点击（1）或没有点击（0）。

然后在这6次展示的时候都通过model算出了点击的概率序列。

下面看三种情况。

1 曲线绘制

1.1 如果概率的序列是（1:0.9,2:0.7,3:0.8,4:0.6,5:0.5,6:0.4）

与原来的序列一起，得到序列（从概率从高到低排）

绘制的步骤是：

1）把概率序列从高到低排序，得到顺序（1:0.9,3:0.8,2:0.7,4:0.6,5:0.5,6:0.4）；

2）从概率最大开始取一个点作为正类，取到点1，计算得到TPR=0.5，FPR=0.0；

3）从概率最大开始，再取一个点作为正类，取到点3，计算得到TPR=1.0，FPR=0.0；

4）再从最大开始取一个点作为正类，取到点2，计算得到TPR=1.0，FPR=0.25;

5）以此类推，得到6对TPR和FPR。

然后把这6对数据组成6个点(0,0.5),(0,1.0),(0.25,1),(0.5,1),(0.75,1),(1.0,1.0)。

这6个点在二维坐标系中能绘出来。

看看图中，那个就是ROC曲线。

1.2 如果概率的序列是（1:0.9,2:0.8,3:0.7,4:0.6,5:0.5,6:0.4）

绘制的步骤是：

6）把概率序列从高到低排序，得到顺序（1:0.9,2:0.8,3:0.7,4:0.6,5:0.5,6:0.4）；

7）从概率最大开始取一个点作为正类，取到点1，计算得到TPR=0.5，FPR=0.0；

8）从概率最大开始，再取一个点作为正类，取到点2，计算得到TPR=0.5，FPR=0.25；

9）再从最大开始取一个点作为正类，取到点3，计算得到TPR=1.0，FPR=0.25;

10）以此类推，得到6对TPR和FPR。

然后把这6对数据组成6个点(0,0.5),(0.25,0.5),(0.25,1),(0.5,1),(0.75,1),(1.0,1.0)。

这6个点在二维坐标系中能绘出来。

看看图中，那个就是ROC曲线。

1.3 如果概率的序列是（1:0.4,2:0.6,3:0.5,4:0.7,5:0.8,6:0.9）

与原来的序列一起，得到序列（从概率从高到低排）

绘制的步骤是：

11）把概率序列从高到低排序，得到顺序（6:0.9,5:0.8,4:0.7,2:0.6,3:0.5,1:0.4）；

12）从概率最大开始取一个点作为正类，取到点6，计算得到TPR=0.0，FPR=0.25；

13）从概率最大开始，再取一个点作为正类，取到点5，计算得到TPR=0.0，FPR=0.5；

14）再从最大开始取一个点作为正类，取到点4，计算得到TPR=0.0，FPR=0.75;

15）以此类推，得到6对TPR和FPR。

然后把这6对数据组成6个点(0.25,0.0),(0.5,0.0),(0.75,0.0),(1.0,0.0),(1.0,0.5),(1.0,1.0)。

这6个点在二维坐标系中能绘出来。

看看图中，那个就是ROC曲线。

2 意义解释

如上图的例子，总共6个点，2个正样本，4个负样本，取一个正样本和一个负样本的情况总共有8种。

上面的第一种情况，从上往下取，无论怎么取，正样本的概率总在负样本之上，所以分对的概率为1，AUC=1。再看那个ROC曲线，它的积分是什么？也是1，ROC曲线的积分与AUC相等。

上面第二种情况，如果取到了样本2和3，那就分错了，其他情况都分对了；所以分对的概率是0.875，AUC=0.875。再看那个ROC曲线，它的积分也是0.875，ROC曲线的积分与AUC相等。

上面的第三种情况，无论怎么取，都是分错的，所以分对的概率是0，AUC=0.0。再看ROC曲线，它的积分也是0.0，ROC曲线的积分与AUC相等。

很牛吧，其实AUC的意思是——Area Under roc Curve，就是ROC曲线的积分，也是ROC曲线下面的面积。

绘制ROC曲线的意义很明显，不断地把可能分错的情况扣除掉，从概率最高往下取的点，每有一个是负样本，就会导致分错排在它下面的所有正样本，所以要把它下面的正样本数扣除掉（1-TPR，剩下的正样本的比例）。总的ROC曲线绘制出来了，AUC就定了，分对的概率也能求出来了。

六、补充内容：分类中解决类别不平衡问题

1 类别不平衡数据集基本介绍

在这一节中，我们一起看一下，当遇到数据类别不平衡的时候，我们该如何处理。在Python中，有Imblearn包，它就是为处理数据比例失衡而生的。

• 安装Imblearn包：pip3 install imbalanced-learn
• 创造数据集

from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt

#使用make_classification生成样本数据
X, y = make_classification(n_samples=5000, 
                           n_features=2,  # 特征个数= n_informative（） + n_redundant + n_repeated 
                           n_informative=2,  # 多信息特征的个数
                           n_redundant=0,   # 冗余信息，informative特征的随机线性组合
                           n_repeated=0,  # 重复信息，随机提取n_informative和n_redundant 特征 
                           n_classes=3,  # 分类类别
                           n_clusters_per_class=1,  # 某一个类别是由几个cluster构成的
                           weights=[0.01, 0.05, 0.94],  # 列表类型，权重比
                           random_state=0)
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• 查看各个标签的样本

#查看各个标签的样本量
from collections import Counter
Counter(y)

# Counter({2: 4674, 1: 262, 0: 64})
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• 数据集可视化

# 数据集可视化
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)	#c=y是按y分类绘色
plt.show()
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可以看出样本的三个标签中，1，2的样本量极少，样本失衡。下面使用imblearn进行过采样。

接下来，我们就要基于以上数据，进行相应的处理。

关于类别不平衡的问题，主要有两种处理方式：

• 过采样方法
  增加数量较少那一类样本的数量，使得正负样本比例均衡。
• 欠采样方法
  减少数量较多那一类样本的数量，使得正负样本比例均衡。

2 解决类别不平衡数据方法介绍

2.1 过采样方法

2.1.1 什么是过采样方法

对训练集里的少数类进行“过采样”（oversampling），即增加一些少数类样本使得正、反例数目接近，然后再进行学习。

2.1.2 随机过采样方法

随机过采样是在少数类 $S_{min}$ 中随机选择一些样本，然后通过复制所选择的样本生成样本集 $E$ ，将它们添加到 $S_{min}$ 中来扩大原始数据集从而得到新的少数类集合 $S_{new-min}$ 。新的数据集 $S_{new-min}=S_{min}+E$ 。

通过代码实现随机过采样方法：

# 使用imblearn进行随机过采样
from imblearn.over_sampling import RandomOverSampler
ros = RandomOverSampler(random_state=0)
X_resampled, y_resampled = ros.fit_resample(X, y)
#查看结果
Counter(y_resampled)

#过采样后样本结果
# Counter({2: 4674, 1: 4674, 0: 4674})

# 数据集可视化
plt.scatter(X_resampled[:, 0], X_resampled[:, 1], c=y_resampled)
plt.show()
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缺点：

• 对于随机过采样，由于需要对少数类样本进行复制来扩大数据集，造成模型训练复杂度加大。
• 另一方面也容易造成模型的过拟合问题，因为随机过采样是简单的对初始样本进行复制采样，这就使得学习器学得的规则过于具体化，不利于学习器的泛化性能，造成过拟合问题。

为了解决随机过采样中造成模型过拟合问题，又能保证实现数据集均衡的目的，出现了过采样法代表性的算法SMOTE算法。

2.1.3 过采样代表性算法-SMOTE

SMOTE全称是Synthetic Minority Oversampling即合成少数类过采样技术。

SMOTE算法是对随机过采样方法的一个改进算法，由于随机过采样方法是直接对少数类进行重采用，会使训练集中有很多重复的样本，容易造成产生的模型过拟合问题。而SMOTE算法的基本思想是对每个少数类样本 $x_i$ ，从它的最近邻中随机选择一个样本 $\widehat{x_i}$ （ $\widehat{x_i}$ 是少数类中的一个样本），然后在 $x_i$ 和 $\widehat{x_i}$ 之间的连线上随机选择一点作为新合成的少数类样本。

SMOTE算法合成新少数类样本的算法描述如下：

1. 对于少数类中的每一个样本 $x_i$ ，以欧氏距离为标准计算它到少数类样本集 $S_{min}$ 中所有样本的距离，得到其k近邻。
2. 根据样本不平衡比例设置一个采样比例以确定采样倍率N，对于每一个少数类样本 $x_i$ ，从其k近邻中随机选择若干个样本，假设选择的是 $\widehat{x_i}$ 。
3. 对于每一个随机选出来的近邻 $\widehat{x_i}$ ，分别与 $x_i$ 按照如下公式构建新的样本。
   $$x_{new}=x_i+rand(0,1)\times (\widehat{x_i}-x_i)$$

我们用图文表达的方式，再来描述一下SMOTE算法

1. 先随机选定一个少数类样本 $x_i$ 。
   
2. 找出这个少数类样本 $x_i$ 的K个近邻（假设K=5），5个近邻已经被圈出。
   
3. 随机从这K个近邻中选出一个样本 $\widehat{x_i}$（用绿色圈出来了）
   
   4)在少数类样本 $x_i$ 和被选中的这个近邻样本 $\widehat{x_i}$ 之间的连线上，随机找一点。这个点就是人工合成的新的样本点（绿色正号标出）
   

SMOTE算法摒弃了随机过采样复制样本的做法，可以防止随机过采样中容易过拟合的问题，实践证明此方法可以提高分类器的性能。

代码实现：

# SMOTE过采样
from imblearn.over_sampling import SMOTE
X_resampled, y_resampled = SMOTE().fit_resample(X, y)
Counter(y_resampled)

# 采样后样本结果
# [(0, 4674), (1, 4674), (2, 4674)]

# 数据集可视化
plt.scatter(X_resampled[:, 0], X_resampled[:, 1], c=y_resampled)
plt.show()
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2.2 欠采样方法

2.2.1 什么是欠采样方法

直接对训练集中多数类样本进行“欠采样”（undersampling），即去除一些多数类中的样本使得正例、反例数目接近，然后再进行学习。

2.2.2 随机欠采样方法

随机欠采样顾名思义即从多数类 $S_{maj}$ 中随机选择一些样样本组成样本集 $E$ ，然后将样本集 $E$ 从 $S_{maj}$ 中移除。新的数据集 $S_{new-maj}=S_{maj}-E$ 。

代码实现：

# 随机欠采样
from imblearn.under_sampling import RandomUnderSampler
rus = RandomUnderSampler(random_state=0)
X_resampled, y_resampled = rus.fit_resample(X, y)
Counter(y_resampled)

# 采样后结果
[(0, 64), (1, 64), (2, 64)]

# 数据集可视化
plt.scatter(X_resampled[:, 0], X_resampled[:, 1], c=y_resampled)
plt.show()
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缺点：

• 随机欠采样方法通过改变多数类样本比例以达到修改样本分布的目的，从而使样本分布较为均衡，但是这也存在一些问题。对于随机欠采样，由于采样的样本集合要少于原来的样本集合，因此会造成一些信息缺失，即将多数类样本删除有可能会导致分类器丢失有关多数类的重要信息。

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