NumPy 广播

NumPy 广播主要应用numpy在算术运算期间处理具有不同形状的数组。受某些约束的影响，较小的数组在较大的数组上“广播”，以便它们具有兼容的形状。
NumPy 操作通常在逐个元素的基础上在数组对上完成。在最简单的情况下，两个数组必须具有完全相同的形状，如下例所示：

 >>> import numpy as np
 >>> a = np.array([1, 2, 3])
 >>> b = np.array([2, 2, 2])
 >>> a * b
 array([ 2, 4, 6])

当运算中的 2 个数组的形状不同时，numpy 将自动触发广播机制。如：

 >>> import numpy as np
 >>> a = np.array([[ 0, 0, 0],
            [10,10,10],
            [20,20,20],
            [30,30,30]])
 >>> b = np.array([1,2,3])
 >>> print(a + b)
 [[ 1 2 3]
  [11 12 13]
  [21 22 23]
  [31 32 33]]

下面的图片展示了数组 b 如何通过广播来与数组 a 兼容。

4x3 的二维数组与长为 3 的一维数组相加，等效于把数组 b 在二维上重复 4 次再运算：

 >>> import numpy as np
 >>> a = np.array([[ 0, 0, 0],
            [10,10,10],
            [20,20,20],
            [30,30,30]])
 >>> b = np.array([1,2,3])
 >>> bb = np.tile(b, (4, 1)) # 重复 b 的各个维度
 >>> print(a + bb)
 [[ 1 2 3]
  [11 12 13]
  [21 22 23]
  [31 32 33]]

一般广播规则

在两个数组上运行时，NumPy会逐元素地比较它们的形状。它从尾随尺寸开始，并向前发展。两个尺寸兼容时

他们是平等的，或者
其中一个是1

如果不满足这些条件，则抛出 ValueError: operands could not be broadcast together 异常，指示数组具有不兼容的形状。结果数组的大小是沿输入的每个轴不是1的大小。

数组不需要具有相同数量的维度。例如，如果您有一个256x256x3RGB值数组，并且希望将图像中的每种颜色缩放不同的值，则可以将图像乘以具有3个值的一维数组。根据广播规则排列这些数组的尾轴的大小，表明它们是兼容的：

 Image (3d array): 256 x 256 x 3
 Scale (1d array): 3
 Result (3d array): 256 x 256 x 3

当比较的任何一个尺寸为1时，使用另一个尺寸。换句话说，尺寸为1的尺寸被拉伸或“复制”以匹配另一个尺寸。在以下示例中，A和B数组都具有长度为1的轴，在广播操作期间会扩展为更大的大小：

 A (4d array): 8 x 1 x 6 x 1
 B (3d array): 7 x 1 x 5
 Result (4d array): 8 x 7 x 6 x 5

以下是一些实例：

 A (2d array): 5 x 4
 B (1d array): 1
 Result (2d array): 5 x 4
 A (2d array): 5 x 4
 B (1d array): 4
 Result (2d array): 5 x 4
 A (3d array): 15 x 3 x 5
 B (3d array): 15 x 1 x 5
 Result (3d array): 15 x 3 x 5
 A (3d array): 15 x 3 x 5
 B (2d array): 3 x 5
 Result (3d array): 15 x 3 x 5
 A (3d array): 15 x 3 x 5
 B (2d array): 3 x 1
 Result (3d array): 15 x 3 x 5

以下是不广播的形状示例：

 A (1d array): 3
 B (1d array): 4 # trailing dimensions do not match
 A (2d array): 2 x 1
 B (3d array): 8 x 4 x 3 #倒数第二个维度不匹配

实践中广播的一个实例：

 >>> import numpy as np
 >>> x = np.arange(4)
 >>> xx = x.reshape(4,1)
 >>> y = np.ones(5)
 >>> z = np.ones((3,4))
 >>> x.shape
 (4,)
 >>> y.shape
 (5,)
 >>> x + y
 ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (5,)
 >>> xx.shape
 (4, 1)
 >>> y.shape
 (5,)
 >>> (xx + y).shape
 (4, 5)
 >>> xx + y
 array([[ 1., 1., 1., 1., 1.],
        [ 2., 2., 2., 2., 2.],
        [ 3., 3., 3., 3., 3.],
        [ 4., 4., 4., 4., 4.]])
 >>> x.shape
 (4,)
 >>> z.shape
 (3, 4)
 >>> (x + z).shape
 (3, 4)
 >>> x + z
 array([[ 1., 2., 3., 4.],
        [ 1., 2., 3., 4.],
        [ 1., 2., 3., 4.]])

广播提供了一种方便的方式来获取两个数组的外积（或任何其他外部操作）。以下示例显示了两个1-d数组的外积操作：

 >>> import numpy as np
 >>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
 >>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
 >>> a[:, np.newaxis] + b
 array([[ 1., 2., 3.],
        [ 11., 12., 13.],
        [ 21., 22., 23.],
        [ 31., 32., 33.]])

这里 newaxis索引操作符插入一个新轴 a ，使其成为一个二维 4x1数组。将 4x1数组与形状为 (3,)的 b组合，产生一个 4x3数组。