孟德尔随机化法（Mendelian Randomization，MR）

一、工具变量

参考：https://www.zhihu.com/question/29067965

在构建回归模型时，一般将因变量 $Y$ 拆成两部分，自变量 $X$ 和随机误差 $\epsilon$。若 $X$ 与 $\epsilon$ 之间存在相关性，则在构建回归模型的时候，导致对 $X$ 的参数 $\beta$ 估计不准。如果能找到一个过滤器，把 $X$ 中和 $\epsilon$ 相关的部分过滤掉，只剩下与 $\epsilon$ 无关的部分，则可以准确估计参数 $\beta$。工具变量是指与自变量 $X$ 相关而与 $\epsilon$ 无关的变量，工具变量可以作为过滤器，去除 $X$ 中与 $\epsilon$ 相关的部分。具体操作如下：

以工具变量 $Z$ 作为自变量，对 $X$ 进行回归，记回归后的因变量为 $X^{\prime }$。 $X^{\prime }$ 有且仅用 Z 表达，而 Z 与 ε 无关，所以 $X^{\prime }$ 与 $\epsilon$ 无关。这样就把 $X$ 分成两个部分，由 $Z$ 决定的部分 $X^{\prime }$ 和于 $Z$ 无关的部分。与 $Z$ 无关的部分包含了我们认为 $X$ 中蕴含着的和 $\epsilon$ 相关的部分。去除 $X$ 中与 $\epsilon$ 相关的部分很简单，即用拟合值 $X^{\prime }$ 来替换 $X$，所有和我们无法控制的因素 $\epsilon$ 相关的都被工具变量 $Z$ 过滤掉了，代入到原来的方程式中回归，就能得到更准的估计了。

需要注意的是，$X$ 中与 $Z$ 无关的部分不仅包含与 $\epsilon$ 相关的，还包括与 $Z$ 不相关且与 $\epsilon$ 也不相关的部分。所以为了尽可能准确的表示 $X$，可以使用多个工具变量来尽可能的减少不必要的过滤。

理想情况下，工具变量 $Z$ 和自变量 $X$ 强相关，然后和 $\epsilon$ 无关；但是有时候 $Z$ 虽然和 $\epsilon$ 无关，但是和 $X$ 的相关性并不强，用 $Z$ 所能表示的 $X$ 太少，这就相当于过滤网孔太细，能够留下来的东西太少，受到样本抽样的影响也会很大，此时我们称 $Z$ 为弱工具变量。所以正确选择合适的工具变量是关联研究的重点与难点。

二、孟德尔随机化法

参考：孟德尔随机化法在因果推断中的应用

1986年，Katan 首次提出 MR 的遗传思想：亲代等位基因随机分配给子代，如果基因型决定表型，基因型通过表型而与疾病发生关联，因此可以使用基因型作为工具变量来推断表型与疾病之间的关联。MR 设计的最关键步骤是寻找合适的 SNP 作为工具变量。

根据 基因-mRNA-蛋白质-表型，通过 GWAS 我们可以找到表型与基因型之间的相关性。但 GWAS 只能找寻关联，无法确定因果。找到的 SNP 是与表型间存在因果关系，还是由于其他未知因素 U 而导致的假阳性，我们无法验证。以前常用的做法是敲除 SNP 附近的基因，观察表型是否按照预想的情况发展。随着多组学的发展，为使用工具变量提供了可能，可以使用多组学验证来确定SNP与表型之间是否存在因果关系。 假设 GWAS 中与表型显著关联（超过阈值）的 SNP 的区间内有基因 A，如果基因 A 与表型存在因果关系，那么受基因 A 调控（以基因 A 的表达量为表型进行 GWAS ）或调控基因 A（以转录组为表型进行 GWAS，所有在基因 A 区间出峰的基因）的 SNP 的区间内基因 B 也应该与表型之间显著关联，但基因 B 可能不含有导致基因 A 与表型存在关联的未知因素 U。所以如果基因 B 与表型之间无关联，那么我们可以判断基因 A 可能为假阳性结果；如果基因 B 与表型之间存在关联，那么我可以判断基因 A 可能与表型存在关联。基因 A 与表型存在关联的可信度与基因 B 的质量直接相关：如果基因 B 功能已知、效果单一且与基因 A 直接强关联，那么基因 A 则大概率与表型相关；如果基因 B 功能不清，与基因 A 相关性一般，那么基因 A 则可能与表型相关。当我们以组学角度研究问题是，一般基因 B 的功能是难以清晰了解的，主要的筛选方法是与基因 A 的相关性，即以基因A的表达量或转录组为表型进行 GWAS 时的 p-value，所以基因 B 常用于排除假阳性。利用基因 B 我们可以筛选掉一部分假阳性的基因，基因 B 我们这里称为工具变量。

MR 设计的常用策略：

① 一阶段 MR（One stage MR）：最早的 MR 研究设计是由 $G$-$X$ 和 $G$-$Y$ 的关联来推断 $X$-$Y$ 的关联。因为没有 $X$-$Y$ 因果效应大小的估计，只是通过推断来估计 $X$ 与 $Y$ 的可能关联，比如，KIV-2 基因拷贝数变异与血浆脂蛋白 Lp（a）含量有关，同时又与心肌梗死的发生率有关，因此推断 Lp（a）含量与心肌梗死的发生有关。

第一步：通过 $G$-$X$ 和 $G$-$Y$ 的回归模型获得回归系数 ${\alpha }_g$ 和 ${\delta }_g$；第二步：计算获得 $X$-$Y$ 回归模型系数 ${\beta }_x={\delta }_g/{\alpha }_g$。

② 独立样本 MR（One-sample MR）：该方法通过使用 2 阶段最小二乘法回归模型（2-stage least-squares regression，2SLS），定量估计暴露因素 $X$ 与 $Y$ 之间的关联效应大小。

PS：2SLS是指连续建模两次最小二乘法回归模型。第二次建模的自变量值为第一次建模的回归值。

第一步：建立 $G$-$X$ 回归模型，获得暴露因素预测值（predicted value，$P$）
第二步：构建 $P$-$Y$ 的回归模型，即获得暴露因素预测值 $P$ 和变量 $Y$ 之间的回归方程。

④ 双向 MR（Bidirectional MR）：若遗传变异 $G_1$ 与 $X_1$ 和 $X_2$ 将都有关联，但是遗传变异 $G_2$ 与 $X_2$ 有关却与 $X_1$ 不存在关联，则可能 $X_1$ 为因而 $X2$ 为果。在 “独立样本 MR” 和 “一阶段 MR” 中通过 $G$ 仅能确定 $X$-$Y$ 关联，但是无法判断方向，即 $X$-$Y$之间的因果关系。而 双向 MR 有助于确定相关性的方向。如 Timpson 等在双向 MR 设计中使用肥胖基因 FTO（$G_1$）和 CRP 基因（$G_2$）作为工具变量，研究 BMI（$X_1$）和CRP水平（$X_2$）之间的关系。作者通过 FTO 基因与 BMI、CRP 水平之间有显著性关联，而 CRP 基因与 BMI 之间无显著性关联，推断 BMI 可能为因而 CRP 水平可能为果。此方法在解决因果网络方向的问题上将会有很大用途。

但需要注意的是，在借助工具变量 $G_1$ 判断 $X_1$-$X_2$ 之间的相关性时，必须考虑 $G_1$ 是否存在一因多效的情况。如果 $G_1$ 与 $X_1$、$X_2$ 相关，但 $X_1$ 与 $X_2$ 之间无直接的相关性，是通过 $G_1$ 而构成相关性，那么 $G_2$ 的使用会误导研究者认为 $X_1$ 是 $X_2$ 的因。为了排除 $G_1$ 是一因多效的可能性，可以使用多个与 $X_1$、$X_2$ 相关的工具变量，综合考量。

MR 对关联性的分析已经对因果方向的判断，可以用于构建网络。如在通过 GWAS 找到了许多与表型相关的位点，用 MR 可以判断这些位点与表型间的相关性是否可靠，同时还可以判断位点间是否存在因果关系，即 GWAS 挖掘到的位点之间可能是存在上下级调控关系的。当然，不只是 GWAS 的结果，任何可以找寻相关性的方法的结果都可以利用 MR 进行验证并说明因果关系，如通过机器学习找到的与表型相关联的 SNP 位点。