探索数据结构：树-二叉树（1）

一、树的概念及结构

1、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 当我们仔细观察这种树的结构时，我们会发现这些树都是从一个点依次向外扩张的，所以这个点我们称为根节点。
• 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2、树的相关概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
其中比较重要的概念（建议背下来）：叶结点或终端结点、双亲结点或父结点、孩子结点或子结点、树的高度或深度

3、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 DataType data; // 结点中的数据域
 struct Node* leftchild; // 指向左边孩子的结点
 struct Node* rightBrother; // 指向右边兄弟的结点
};
1
2
3
4
5
6
7

结构图：

也就是说无论这个父亲结点有多少个孩子，我只指向左边的第一个孩子，A的左边第一个孩子为B,所以A指向B，依次类推，B的兄弟是C，所以B的Brother结点指向C，依此类推。

4、树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二、二叉树概念及结构

1、二叉树的概念

通俗来讲的话二叉树就是有一种有特定结构的树：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

1.1满二叉树

满二叉树就是所有的根节点上都有两个子树，不存在单个的子树。如果用数学公式来表达的话：假设这颗树的层数为N，那么结点数量满足2^(N-1)的话，那就是满二叉树。

1.2完全二叉树

完全二叉树是在满二叉树的基础上进行变形的，假如一个满二叉树有h层，那么只要最后一层的子树不满（前h-1层为满二叉树）但是要连续，这个就是完全二叉树。如下图所示：

1.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.

2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1

3. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，假如知道父节点的下标为k,那么它的左孩子的下标为k*2+1,右孩子就是在左孩子的基础上+1得：k*2+2; .那么假如知道孩子的下标为p,那么该孩子的父结点的下标为（p-1）/2.

   这边建议根据图像来记：