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数字图像处理中不同的低通滤波器的区别以及cut-off frequency 对于图像的影响_数字图像处理低通滤波器总结

数字图像处理低通滤波器总结

首先要清楚的概念是,图像(假设是灰度图,便于描述,或者是单个channel的图)在时域和频域中的分别是什么含义。在时域中,很显然,对应的是每个像素,每个像素上的点的灰度值。 如果该图像用matlab显示的话,(x,y)代表图中的每个像素,每个像素对应Z的值就是该图像在这个像素点的灰度。那么在频域中,也就是如果我对这个矩阵进行傅里叶变换,我们得到的该图像在频域中的表达。 图像在频域中,是该图像的颜色变化的剧烈程度。低频部分表示那些颜色变化不是很剧烈的部分,而高频部分则是那些颜色变化剧烈的部分。举个例子,如果我们有一副海洋和沙滩的图,沙滩上可能有些人以及其他的东西。 那么,我们可以发现,图像中,低频部分所关联的就是颜色变化平滑的,或者说不太变化的,如大片的沙滩以及海洋。而高频部分则关联的是颜色变化剧烈的部分,如海洋和沙滩交接的部分,或者其他颜色变化剧烈的东西,一般高频部分所关联的是两个颜色的相交接的部分,而这一般都发生在两个不同物体的轮廓上,所以,如果我们只取特定高频的部分,那我们就能得到物体的轮廓了(本文主要讲解低通滤波器,所以涉及的基本都是低频部分,高频部分会在其他博文中阐述)。

好了,现在我们对于图像的傅里叶变化有了一个大概的认识。那么我们来说说为什么在图像处理时,要使用低通滤波器呢。出于某些目的,我们希望我们的图像不那么清晰,即去除噪点或者不要有那么多的细节(比如,美图秀秀中磨皮。。。 我们不希望皮肤上的毛孔都出现在图像上,但现在的手机像素都很高,所以如果不做处理,那么脸上就会有很多细节都展现在图片上,如痘印啊,粗大的毛孔等)。那么这个时候,我们就需要使用低通滤波器了,即把那些高频的细节都过滤掉,留下的就只有平滑的皮肤了。

接下来,在来看看低通滤波器的种类。低通滤波器的种类有很多,比较常接触的大概是以下几类:

(1)理想的低通滤波器

   以上是二维中,低通滤波器的公式。其实很好理解,一维中的低通滤波器就是一个窗口函数,在D0的时候,直接从1变成0. 那么二维中的低通滤波器就是讲一维中的低通滤波器绕着y轴旋转一周,所得到的圆柱就是二维中低通滤波器的样子。而绕的点一般是图像的中心(P,Q代表了图像的横纵像素点的个数)。而D0 代表了截止频率。matlab中自己构造理想低通滤波器的话,代码应该如下所示:

  1. lowPF = zeros(p,Q);  
  2.   
  3. for i = 1:P  
  4.     for j =1:Q  
  5.         if((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2 <=D0^2)  
  6.             lowPF(i,j) = 1;  
  7.         end  
  8.               
  9.     end  
  10. end  
  11.   
  12. figure;  
  13. title('low_pass_filter_cf=D0');  
  14. imshow(lowPF,[]);  
lowPF = zeros(p,Q);

for i = 1:P
    for j =1:Q
        if((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2 <=D0^2)
            lowPF(i,j) = 1;
        end
            
    end
end

figure;
title('low_pass_filter_cf=D0');
imshow(lowPF,[]);
而得到的图像应该是这样的:


由于理想滤波器的傅里叶反变换的是二维的sinc函数,即将一维的sinc函数绕着y轴旋转一周(就像水波浪漾开那样),所以当用这种滤波器处理图像时,在边缘变化剧烈的地方会产生ringing。

然而正如它的名字一样,它是理想低通滤波器,在实际使用中,我们不会使用这种滤波器,原因有二:首先是在实际上来说,不可能产生瞬时的阶跃,即在D0位置,我们不可能能马上从1跳到0.二是因为理想滤波器所得到的图片ringing现象很严重(后文会有详细说明)

(2)Butterworth 低通滤波器


以上是Butterworth滤波器的公式,相比于理想滤波器,它的阶跃部分更加圆滑,而幂系数n可以改变滤波器的形状,n越大,则该滤波器越接近于理想滤波器。以下为该滤波器的侧面图,以及用图像显示的图。


上图为n取1-4所得到的butterworth函数傅里叶反变换所得到的函数的侧视图,我们可以看到n越小,晕越少。

与理想滤波器相比,Butterworth函数的傅里叶反变换所产生的晕比理想滤波器更平滑,所以该滤波器形成的图片的ringing更少,且容易实现。以下是该滤波器的matlab代码

  1. lowPF = zeros(P,Q);  
  2. n=1;  
  3.   
  4. for i = 1:P  
  5.     for j =1:Q  
  6.         
  7.             lowPF(i,j) = 1/(1+((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)^0.5/D0)^(2*n);  
  8.     
  9.               
  10.     end  
  11. end  
  12.   
  13. figure;  
  14.   
  15. imshow(lowPF,[]);  
lowPF = zeros(P,Q);
n=1;

for i = 1:P
    for j =1:Q
      
            lowPF(i,j) = 1/(1+((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)^0.5/D0)^(2*n);
  
            
    end
end

figure;

imshow(lowPF,[]);


(3).高斯低通滤波器


以上为高斯低通滤波器的公式,我们可以看到因为高斯滤波器是e的幂函数,所以该滤波器的傅里叶反变换应该也是e的幂函数,所以不会有晕的现象,相比以上两种滤波器,ringing现象几乎没有。以下为高斯滤波器的侧视图以及图像显示的图

高斯滤波器的matlab代码

  1. lowPF3 = zeros(P,Q);  
  2.   
  3. for i = 1:P  
  4.     for j =1:Q  
  5.         lowPF3(i,j) = exp(-((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)/(2*D0^2));  
  6.               
  7.     end  
  8. end  
lowPF3 = zeros(P,Q);

for i = 1:P
    for j =1:Q
        lowPF3(i,j) = exp(-((i-P/2)^2+(j-Q/2)^2)/(2*D0^2));
            
    end
end



(4)滤波器截止频率对于图像的影响

就像我们前面所说的,高频的部分是图像的细节,那么如果截止频率越大,则保留的细节越多,相反截止频率越小,那么就会有更多的细节被过滤了,所以图像会更模糊,且ringing现象会更明显。

以下上图分别为截止频率为460、160、60、30得到的图


可以发现当截止频率变为160时,字母a周围的晕变得十分明显,当截止频率变为30时,图像整个变得十分模糊。

(5)相同截止频率下选择不同滤波器的效果


以上我们可以看到相同的截止频率下,理想滤波器的ringing效果十分明显,Butterworth的有点朦胧,但是ringing效果比较弱,而高斯滤波器效果很不错。









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