【LeetCode】最长递增子序列的个数 [M]（动态规划）_给定一个长度为 的序列,求有多少个子序列满足长度为 ,并且递增。答案对 取模。

673. 最长递增子序列的个数 - 力扣（LeetCode）

一、题目

给定一个未排序的整数数组 nums ， 返回最长递增子序列的个数 。

注意 这个数列必须是 严格 递增的。

示例 1：

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。

示例 2：​​​​​​​

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。

提示：

• 1 <= nums.length <= 2000
• -106 <= nums[i] <= 106

二、代码

class Solution {
    // 时间复杂度O(N*logN)
    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        // 过滤无效参数
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        // 设置dp，里面存储了所有长度的递增子序列中以每一个nums[i]为结尾的子序列个数分别有多少个
        // dp.get(i)：存储长度为i的递增子序列信息
        // dp.get(i).(key, value)：表示以大于等于key结尾的长度为i的递增子序列的个数为value个
        ArrayList<TreeMap<Integer, Integer>> dp = new ArrayList<>();
        // 遍历nums
        for (int num : nums) {
            // 记录以num结尾的递增子序列的最大长度
            int len = 0;
            // 记录以num结尾的最大递增子序列的个数
            int cnt = 0;
 
            // 1、找到以num结尾的最长递增子序列的长度
            // 用二分法找到dp中找到一个长度最小的无法和num构成递增子序列的长度，即找到一种长度的最小结尾数是大于等于num的，并且这个长度是满足这个条件中最小的长度
            len = search(dp, num);
 
            // 2、计算以num结尾的最长递增子序列的个数
            // 如果len == 0，说明此时num比所有的数都小，无法和他们组成递增子序列，只能自己组成一个子序列，个数为1个
            if (len == 0) {
                cnt = 1;
            // num可以和以前的子序列组成更长的递增子序列    
            } else {
                // 获取这个可以和num组成递增子序列的最长递增子序列信息
                TreeMap<Integer, Integer> treeMap = dp.get(len - 1);
                // 以num结尾的最长递增子序列个数就是长度为len-1的递增子序列中所有结尾数小于num的个数总和
                // treeMap.firstEntry().getValue()：长度为len-1的递增子序列总数
                // treeMap.ceilingEntry(num).getValue()：长度为len-1的递增子序列中结尾值大于num的子序列总数
                // 上面两个数相减得到的就是长度为len-1的递增子序列中所有结尾数小于num的个数总和
                cnt = treeMap.firstEntry().getValue() - (treeMap.ceilingEntry(num) == null ? 0 : treeMap.ceilingEntry(num).getValue());
            }
 
            // 3、将计算得到的len和cnt加入到dp中
            // 如果len == dp.size()，说明以num结尾的最长递增子序列已经推高了当前找到的最长递增子序列长度，需要新开一个TreeMap来存储
            if (len == dp.size()) {
                dp.add(new TreeMap<Integer, Integer>());
                // 将以num结尾的最长递增子序列数据加入到dp中
                dp.get(len).put(num, cnt);
            // 服用以前已有的TreeMap来存储以num结尾的最长递增子序列数据
            } else {
                // 这里要注意，len长度的递增子序列中，此时num一定是最小结尾
                // 因为前面通过二分法找到的len长度是长度最小的无法和num构成递增子序列的长度，即len长度的递增子序列原本的最小结尾数是大于num的，
                // 所以num的加入一定会作为len长度的递增子序列中新的最小结尾数
                // 所以在计算长度等于len的递增子序列中结尾数大于等于num的个数时，就直接用dp.get(len).firstEntry().getValue() + cnt
                // dp.get(len).firstEntry().getValue():原本就在TreeMap中结尾数大于等于num的总数，它也是原来的长度为len的递增子序列的总个数
                dp.get(len).put(num, dp.get(len).firstEntry().getValue() + cnt);
            }
        }
        // 直接返回dp中最大长度的递增子序列总个数即可
        // 最大长度：dp.size() - 1
        // 递增子序列总个数：dp.get(dp.size() - 1).firstEntry().getValue()
        return dp.get(dp.size() - 1).firstEntry().getValue();
    }
 
    // 二分查找，返回TreeMap.firstEntry().getKey()>=num最左的位置
    public int search(ArrayList<TreeMap<Integer, Integer>> dp, int num) {
        int l = 0;
        int r = dp.size() - 1;
        // 如果最后返回dp.size()就说明此时dp中没有比num大的
        int ans = dp.size();
        while (l <= r) {
            int m = (l + r) >> 1;
            // TreeMap.firstEntry()就是当前这个长度的递增子序列中结尾数最小的子序列
            if (dp.get(m).firstEntry().getKey() >= num) {
                // 记录大于等于num的答案
                ans = m;
                r = m - 1;
            } else {
                // 如果一直执行这个分支就会返回0，说明num比当前所有的数都小
                l = m + 1;
            }
        }
        return ans;
    }
   
}

三、解题思路 

假设遍历到了x这个数，先通过二分法去找x能组成的最长长度的递增子序列是多少，假设它最长能组成Y长度，这是因为Y-1长度的最小结尾数小于x，但是Y长度的最小结尾数大于x，所以x最多就是和Y-1长度的子序列组成递增子序列。

然后利用有序表找到Y-1长度中结尾数大于x的最小值是多少，假设是z，找这个位置记录的个数，假设为c个，假设Y-1长度的子序列总数为a（即这个长度记录中大于等于结尾值最小的那个个数），然后用Y-1长度递增子序列的总数量a减去c，得到的就是Y-1长度中结尾小于x的个数一共有a-c个，也就是能组成的长度为Y以x结尾的递增子序列的个数为a-c个。

然后长度为Y的记录中大于x最近的值是k，k的记录是d个，表示长度为Y结尾大于等于k的子序列有d个，那么记录在大于等于x的个数就是a-c+d个。

至此就完成了整个流程的处理，当把所有数都遍历完一遍后，记录的结构中最大长度的总子序列个数（即记录的大于等于最小结位值位置的个数）就是最后的最长递增子序列个数。