时频联合分析
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时频联合分析
摘要：常规傅立叶变换方法不能刻画任一时刻的频率成分,无法对其进行全面的分析。时频分析方法将一维时域信号变换到二维的时频平面。由于不同时频分析方法有其特有时频特性,本文简要介绍几种较常见的线性时频表示和非线性时频表示，并对他们进行比较，进一步阐述了这些方法的长处和不足之处。
1引言
信号一般用时间作自变量来表示,通过傅立叶变换可分解为不同的频率分量。在平稳信号分析中,时间和频率是两个非常重要的变量,傅立叶变换及其反变换建立了信号频域与时域的映射关系。基于傅立叶变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征,但傅立叶变换是一种整体变换,对信号的表征要么完全是时间域,要么完全是频率域,不能分析信号中频率随时间的变化关系。为了解频率随时间变化的关系,需要使用信号的时频分析方法。时频分析方法将一维时域信号映射到二维的时频平面,全面反映非平稳信号的时频联合特征。如图1 所示,可以很直观地了解信号的时间域描述、频率域描述和联合时频描述三种时频描述方法。该图给出了频率范围为10～90Hz 的线性调频信号,图上方为时间域描述,但是失去了频率成分;图左方为频率域描述,但是失去了时间的信息;图右下方为时频分布,可以看出频率随时间变化规律,给出了二维时间——频率关系的直观描述。
2线性时频表示
常用的时频表示分为线性和非线性两种[1～3 ],典型的线性时频表示有短时傅立叶变换[4 ,5 ]、连续小波变换[6～11 ]等,典型的非线性时频表示有Wigner - Ville 分布[12 ,13 ]、Cohen类分布[14～17 ] 等。
2.1 Gabor变换
对于信号s(t)∈L2( R),其Gabor变换定义为:
其中是高斯函数(常数a>0),称为窗口函数。Gabor变换是对时间和频率同时局部化,能较好地刻画信号中的瞬态结构,其时频分辨率完全由高斯窗决定。经计算得,Gabor变换具有最小的时-频窗。
2.2 短时傅里叶变换(STFT)
短时傅里叶变换属于线性时频分析中的一种,是由Potter等人于1946年提出的,若给定一信号x(t)∈L2(R) ,其STFT 定义为:
STFT的含义可解释如下:在时域用窗函数去截(注将、的时间变量换成，对截下来的局部信号作傅里叶变换,即得在t时刻的该段信号的傅里叶变换。不断地移动t,也即不断地移动窗函数 的中心位置,即可得到不同时刻的傅里叶变换。这些傅里叶变换的集合即是STFTx ( t ,Ω) 。短时傅里叶变换的优点在于其物理意义明确,对于许多实际的测试信号,给出了与我们的直观感知相符的时频构造；而且他不同于Wigner 分布,不会出现交叉项,由此成为历史上应用最多的一种时频分析。
但是由于测不准原理对窗函数时频分辨能力的制约，也就是利用短窗口有较高的时间分辨率, 但是频率分辨能力差。当利用长窗口时有较高的频率分辨率, 但时间分辨能力就弱。在应用当中，必须对时窗与频窗宽度做出折衷,而这种折衷取决于窗函数和信号的时频特性。并且折衷并非能涵盖所有类型信号时频特性的要求。例如,当被分析信号是缓变和瞬变共存的信号类型时,任何折中都将变得没有意义。这时采用任何宽度的时窗,要么照顾到缓变信号成分的要求而满足不了瞬变信号成分的需要,要么反之,或者是两种成分的分析结果都不能接受。也就是说,当被分析的信号是含有多种差别很大的尺度成分的类型时,短时傅里叶变换方法是无能为力的。
2. 3 小波变换
小波变换作为一种最新线性时频分析方法,是20世纪80年代中后期发展起来的。小波顾名思义就是小的波形,所谓“小”是指他具有较快的衰减性,而称之为“波”则是指他的波动性。对于给定信号x ( t) ∈L2 ( R) , x ( t) 的小波变换定义为:
式中:a>0是尺度因子，b是时移因子。Ψa, b ( t) 是母小波Ψ( t) 经移位和伸缩所产生的一族函数,称之为小波基。由此定义可知,小波变换实质上是原始信号与经过伸缩后的小波函数族的相关运算。通过调整尺度, 可得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的不同位置, 达到信号的局部化分析。与短时傅里叶变换不同,小波变换能较好地解决时间和频率分辨力的矛盾:小波变换的窗是可调时频窗,在高频时使用短窗口,在低频时则用宽窗口,即以不同的尺度观察信号,以不同的分辨力分析信号,充分体现了多分辨率分析的思想,与时变、非平稳信号的特性一致。但是小波变换对时频平面也是一种机械式的划分,在实际中选择能反映信号特征的小波不易,而且一旦选定小波就必须用同一个小波分析下去,因此并不具备自适应的特点。另外小波变换引入的是尺度因子a，由于尺度因子a与频率f间没有直接的联系,而且频率在小波变换中没有明显地表现出来,因此小波变换的结果不是一种真正的时频谱。
2.3 S变换
为了解决短时傅氏变换只能以一种分辨率进行时频分析及小波变换不能直接与频率对应的缺陷，1996年美国地球物理学家Stocwkell在前人的基础上提出了S变换[18]。在S变换中,基本小波是由简谐波与高斯函数的乘积构成的,基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换, 而高斯函数则进行伸缩和平移。这一点与连续小波变换不同,在连续小波变换中,简谐波与高斯函数进行同样的伸缩和平移。信号f(t)一维连续正变换表达式如下：
式中，f为频率，t是时间τ控制时间轴上高斯窗的位置。由于S变换采用宽度可变的高斯窗函数，傅氏变换仍然是高斯函数[19-20],所以可以达到很好的时频聚集性能。图5所示为高斯窗S变换,它综合了短时傅氏变换和小波变换的优点, 避免了它们的不足:频率的倒数决定了S变换中的高斯窗的尺度大小,使信号的S变换的时频谱的分辨率与频率(即尺度)有关,从而克服了短时傅氏变换不能调节分析窗口频率的问题。同时具有了小波变换的多分辨优点,而且含有相位因子,这是小波变换所不具备的特性。由于S 变换分辨率可自适应调节,能够兼顾高低频分量,保持低频部分较高的分辨率,且不存在交叉项。大量实验表明在频带较宽时,更能够体现出该方法的优越性。
3 非线性时频表示
3.1魏格纳威利分布(WVD)
不同于上述两种线性时频分布,魏格纳威利分布作为Cohen类双线性时频分布中最基本一种,其实质是将信号的能量分布于时频平面内。这种分布最初是由魏格纳(Wigner)在量子力学中提出的,后有威利(Ville)首先应用于信号分析。对于某确定性时间连续信号x ( t) 的WVD定义为:
此式可理解为把过去某一时间信号乘上未来某一时间信号，再对两个时间差τ求傅里叶变换。因为x(t)出现两次,所以称其为双线性变换。考虑到式中不含有任何的窗函数,因此避免短时傅里叶变换时间分辨率与频率分辨率相互牵制的矛盾,他的时间带宽积达到了测不准原理给出的下界。但是魏格纳威利分布本质不是线性的,即两信号和的WVD分布并不等于每一个信号的WVD分布之和。
式中2Re[W x1 , x2 ( t ,Ω) ] 是x1 ( t) 和x2 ( t) 的互WVD，称之为“交叉项”,他是引进的干扰。显然,信号中包括的分量成分越多,交叉项也越多。对于某含有个N 分量的信号,交叉项就有个。交叉项的出现极大地干扰了时频分布,同时也抑制了二次型时频分布的推广。
伪Wigner-Ville分布(pseudo WVD, PWVD)是对基本的WVD进行加窗处理,原因是实际积分不可能从到，因此应该研究有限范围内的积分结果。此外在计算某一时间t的分布时,与远离t的时间相比,更希望加强所关心时间附近的特性。其分布定义式为：
加窗的结果使得WVD的完全非局部性变为局部化,且在某种程度上压缩了多分量信号的交叉项（如下图）,但同时破坏了WVD的一些边缘特性。
WVD和伪PWVD的值并不满足常规意义上的能量正值性,为了实现能量分布为正值性的特点,可通过把WVD与平滑函数进行卷积,从而得到平滑伪W igner-Ville 分布( smooth p seudo WVD,SPWVD),其分布定义式为：
因为有窗函数g ( u )在时间、频率两方面进行平滑,它具有较佳的消交叉项效果。如下图所示,其时频特性和聚集性能也均保持较好,因此在所有可能的Cohen类时频分布中,SPWVD是最为通用的分布之一。在频带较窄的情况下,选择SPWVD能获得较高的时频分辨率,优势十分突出。
3.2 CWD分布(Choi-Williamsdistribution)
连续信号f(t)的时频分布的一般式定义为：
式中称为核函数。根据Cohen关于时频分布的一般理论,选择不同的核函数就可以得到不同的分布。当核函数取时,通过改变参数σ可以控制交叉项相对下降。如果σ很大，函数就相对地平坦,达不到交叉项抑制的目的。对于小的σ值, 函数在原点有峰值,沿两个轴都是1,而且远离两个轴时迅速地下降。因此这个核满足交叉项最小的特性。把这个核代入一般类并在υ范围内积分,可得到CWD分布,其表达式为：
如下图所示, CWD时频分布在所有未经处理的Co-hen类分布中,具有交叉项干扰最小的特点,对不同到时或频率的信号具有较高的分辨能力和识别精度。
3.4 希尔伯特黄变换(HHT)
希尔伯特黄变换是由NASA的Norden E Huang 等在1998年提出的一种新的信号处理方法,该方法适用于非线性非平稳的信号分析,被认为是近年来对以傅里叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。HHT方法包含2个主要步骤:
(1)对原始数据进行预处理,即先通过经验模态分解( EMD)方法,把数据分解为满足希尔伯特(Hilbert)变换要求的n阶本征模式函数(IMF),即:
(2)对分解出的每一阶IMF做希尔伯特变换,得出各自的瞬时频率,做出时频图,流程如图所示。
EMD的主要过程如下:
（1）找出待分析信号的全部极大值和极小值点,利用三次样条函数分别把他们拟合为该信号的上下包络线,计算出两包络线的均值,进而求出待分析信号和均值的差值h。
（2）若h不满足IMF的要求,则对其上述过程重复k次,使得新的h满足IMF的条件；若h满足IMF的要求,则令其为原信号的第1个IMF,并求出原信号与该IMF的差值r。
（3）将r作为待分解信号,重复以上过程,直至所剩余的r不可分解或研究意义已不大为止。经过EMD处理后的数据,即每一阶的IMF应满足:
①数据的极值点和过零点交替出现，且数目相等或最多相差一个。
②在任何点上,有局部最大值和局部最小值定义的包络的均值必须是零。
HHT是一种自适应的处理方法,适合于非线性、非平稳过程的分析,其最大特色是通过信号的EMD分解,使非平稳信号平稳化,从而使瞬时频率有意义、进而导出有意义的希尔伯特时频谱。HHT方法存在的问题主要有:对于这种新的信号处理方法其基的完备性还需要严密的证明;在做希尔伯特变换时出现的边界效应也需要更好的方法来解决;此外,HHT 技术中最重要也是现今研究的最多的是EMD分解中的包络过程,从对EMD分解过程的介绍可以看出是采用的三次样条插值来拟和包络线,这在实际应用中会产生严重的边界效应而污染原始数据,特别是对短数据而言这种影响可能使分析所得的结果失去了原有的意义等。
4结论
Gabor变换同短时傅立叶变换一样具有固定的时间和频率分辨率，且受窗函数的形状和宽度的影响较大。
短时傅立叶变换方法在利用长窗口时,频率分辨率较高,但时间分辨率低；短窗口时,时间分辨率较高,但频率分辨率低，因此如何选用合理的窗口长度是应用的关键。短时傅里叶变换虽然有着分辨率不高等明显缺陷，但由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号的分析标准和有力的工具，他已经在语音信号分析和处理中得到了广泛的应用。
连续小波变换根据信号的频率成分对母小波进行伸缩以提供合理的窗口，具有很强的自适应能力。当信号频率减小时，应用大尺度进行分析，带宽变窄，中心频率降低，频率分辨率增高；当信号频率增大时，应用小尺度进行分析，时窗收缩，中心频率升高，时间分辨率增高。因此，连续小波变换能够能够在信号高频段提供较高的时间分辨率，在信号低频段提供较高的频率分辨率，具有短时傅立叶变换不可比拟的优点。但是小波变换得到的仍然是窄带信号，无法准确得到单一频率信息。现在小波变换已经被广泛地应用在信号的奇异性检测、信号的消噪处理、图像处理、地球物理等诸多领域，在医学领域中也有了很多的应用。
S变换它解决了小波变换相位局部化问题，对相位进行了校正。它和小波变换一样是线性算子,对多频率信号没有双线性类型变换那样的交叉项干扰问题。
WVD方法有很好的时频聚焦性,但受交叉项干扰的影响,它的各种平滑改进方法能一定程度上消除交叉项干扰影响,但又降低了时频聚焦性。由于其本身满足的大部分期望的数学性质，如实值性，对称性，边缘积分特性，能量守恒，时频移位等，所以他确实反映了非平稳信号的时变频谱特性，加之能作相关化解释，从而成为非平稳信号分析处理的一个有力的工具，广泛应用于信号检测、分类与识别、瞬时频率估计、时频滤波等诸多领域，并成为了这一学科的“会下金蛋的母鸡”。
希尔伯特一黄变换是一种自适应的信号处理方法,适用于分析非线性非平稳信号,其最大的特色是通过信号的EMD分解,使非平稳信号平稳化,从而使瞬时频率有意义,进而导出有意义的希尔伯特时频谱。该方法的主要问题有:缺乏严格的理论基础，其基的完备性还有待严密的证明；频率分辨能力不高,且应用EMD的最低要求是采样率必须大于2倍的Nyquist速率；在做EMD分解时出现的边界效应需要更好的方法来解决；此外,HHT技术中最重要也是现今研究的最多的是EMD分解中包络的求取过程,大都采用三次样条插值来拟合包络线,这在实际应用中会产生严重的边界效应而污染原始数据,特别是对短数据而言,这种影响可能使分析的结果失去原有的意义。自从其公开发表到现在十几年中，一直受到国内外学者的广泛关注并用于各个科学研究和工程应用领域：在地球物理学领域，如非线性水波分析、潮汐和海啸分析、海洋环流分析、地震波分析等；在生物医学领域，如心跳信号分析、血压信号分析、心电图信号分析等；在结构分析领域，如桥梁的监测、结构的辨识和模态响应分析、结构破坏检测等;在设备诊断领域，如潜艇叶片的故障诊断、旋转机械故障诊断；在天文学领域，太阳中微子数据的分析等。
5研究展望
以下几个方面代表了时频分析方法技术未来的研究和发展方向:
l.时间和频率两个物理量的相容性;
2.研究导致信号的频率成分随时间变化的物理机制;
3.参数化时频分析技术;
4.研究用时频密度函数定义标准的物理量及其相应的物理意义;
5.时频分析快速算法的研究;
6.时频分析技术应用领域的开拓。
本文主要对时频分析的方法做了理论上的探讨,如何将这些理论与工程实际相结合,是下一步着重考虑的问题。
