python 希尔伯特变换_信号处理——Hilbert变换及谱分析

作者：桂。

时间：2017-03-03  23:57:29

前言

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

A-Hilbert变换定义

对于一个实信号$x(t)$，其希尔伯特变换为：

$\tilde x(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t}$

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

$\frac{1}{ {\pi t}} \Leftrightarrow j\cdot \;sign(\omega )$

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

$\frac{1}{ {\pi t}}*\frac{1}{ {\pi t}} \Leftrightarrow j \cdot \;sign(\omega ) \cdot j \cdot \;sign(\omega ) =  - 1$

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

$z(t) = x(t) + j\tilde x(t)$

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

$x(t) = a(t)\cos [2\pi {f_s}t + \varphi (t)]$

其中$f_s$是载波频率，$a(t)$是$x(t)$的包络，$\varphi (t)$是$x(t)$的相位调制信号。由于$x(t)$是窄带信号，因此$a(t)$也是窄带信号，可设为：

$a(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M { {X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

式中，$f_m$为调幅信号$a(t)$的频率分量，${\gamma _m}$为$f_m$的各初相角。

对$x(t)$进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

$z(t) = {e^{j\left[ {2\pi {f_s} + \varphi \left( t \right)} \right]}}\left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M { {X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

设

$A(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M { {X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

$\Phi \left( t \right) = 2\pi {f_s}t + \varphi \left( t \right)$

则解析信号可以重新表达为：

$z(t) = A(t){e^{j\Phi \left( t \right)}}$

对比$x(t)$表达式，容易发现：

$a(t) = A(t) =  \sqrt { {x^2}(t) + { {\tilde x}^2}(t)} $

$\varphi (t) = \Phi (t) - 2\pi {f_s}t = \arctan \frac{ {x(t)}}{ {\tilde x(t)}} - 2\pi {f_s}t$

由此可以得出：对于窄带信号$x(t)$，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调$a(t)$和相位解调$\varphi (t)$，并可以利用相位解调求解频率解调$f(t)$。因为：

$f\left( t \right) = \frac{1}{ {2\pi }}\frac{ {d\varphi (t)}}{ {dt}} = \frac{1}{ {2\pi }}\frac{ {d\Phi (t)}}{ {dt}} - {f_s}$

C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

z = hilbert(x);

f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N