408数据结构-二叉树的概念、性质与存储结构 自学知识点整理

前置知识：树的基本概念与性质

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二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于$2$的结点），并且二叉树是有序树，左右子树不能互换。
与树类似，二叉树也以递归形式定义。二叉树是$n$（$n\ge 0$）个结点的有限集合。当$n=0$时，称为空二叉树。
当$n\ne 0$时，二叉树由根结点和两个互不相交的子树组成，左子树和右子树又分别是一棵二叉树。即使树中结点只有一棵子树，因为二叉树有序，也要区分是左子树还是右子树。
二叉树与度为$2$的有序树的区别：

• 度为$2$的有序树至少有$3$个结点，而二叉树可以为空。
• 度为$2$的有序树的孩子的左右次序是相对于另一个孩子而言的，若某一结点只有一个孩子结点，则无需区分其左右。而对二叉树上的结点来说，无论其孩子数是否为$2$，均需确定其左右次序。即二叉树的结点次序不是相对于另一个结点而言的，而是确定的。

几种特殊的二叉树

Man! 满二叉树

一棵高度为$h$，且有$2^h-1$个结点的二叉树被称为满二叉树。
因为对一个满二叉树来说，第$i$层有$2^{i-1}$个结点，一共有$h$层，则求和结果就是$2^h-1$。
满二叉树的特点：

1. 只有最后一层有叶子结点。
2. 不存在度为$1$的结点。
3. 若层序从$1$开始编号，则对第$i$个结点，其左孩子必为第$2i$个结点，右孩子必为第$2i+1$个结点。如果结点$i$存在双亲结点，则其双亲必为第$\lfloor i/2\rfloor$个结点（即对$i/2$向下取整）。

（下图来自王道考研408数据结构课程视频 - 二叉树的定义和基本术语）

完全二叉树

一棵高度为$h$、有$n$个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为$h$的满二叉树中编号为$1-n$的结点一一对应时，称为完全二叉树。
完全二叉树的特点：

1. 只有最后两层（层数最大的两层）可能有叶子结点。
2. 最多只有一个度为$1$的结点，且该结点只有左孩子而无右孩子。
3. 层序从$1$开始编号，则对第$i$个结点，其左孩子必为第$2i$个结点，右孩子必为第$2i+1$个结点。如果结点$i$存在双亲结点，则其双亲必为第$\lfloor i/2\rfloor$个结点。（同满二叉树）
4. 对结点$i$，当$i\le \lfloor n/2\rfloor$时，该结点为分支结点；当$i＞\lfloor n/2\rfloor$时，该结点为叶结点。
5. 若$n$为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；若$n$为偶数，则编号最大的分支结点（编号为$n/2$）只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点均有左、右孩子。

二叉排序树⭐

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字，右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字，左右子树又各是一棵二叉排序树，这样的二叉树被称为二叉排序树。

平衡二叉树⭐

树中任意一个结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过$1$，这样的二叉树称为平衡二叉树。
如果一棵二叉排序树是平衡的，那么它的搜索效率会高很多。

关于二叉排序树和平衡二叉树，后续章节会有详细介绍，现在暂时了解其概念即可。

正则二叉树

树中每个分支结点都有$2$个孩子，即树中只有度为$0$或$2$的结点。

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二叉树的性质相关

常见考点1：非空二叉树上的叶结点数等于度为$2$的结点数加$1$，即$n_0=n_2+1$。

假设树中结点总数为$n$，度为$0$的结点数为$n_0$，度为$1$的结点数为$n_1$，度为$2$的结点数为$n_2$。则有：
① $n=n_0+n_1+n_2$
② $n=n_1+2n_2+1$（树的结点数=总度数+1）
联立两式，得$n_0=n_2+1$。
这一个考点常在选择题中涉及，需要牢记并灵活应用。

常见考点2：非空二叉树的第$i$层至多有$2^{i-1}$个结点（$i\ge 1$）

由树的基本概念与性质可知，$m$叉树的第$i$层至多有$m^{i-1}$个结点（$i\ge 1$），令$m=2$即可。

常见考点3：高度为$h$的二叉树至多有$2^h-1$个结点（$h\ge 1$）

由树的基本概念与性质可知，高度为$h$的$m$叉树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个结点（$i\ge 1$），令$m=2$，得有$2^h-1$个（满二叉树）。

完全二叉树的性质相关

常见考点1：具有$n$个结点（$n＞0$）的完全二叉树的高度$h$为$\lceil {\log }_2\left(n+1\right)\rceil$或$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$。

由完全二叉树的已知性质，假设完全二叉树的高度为$h$，则有

$2^{h-1}-1<n\le 2^h-1$ 或 $2^{h-1}\le n<2^h$

取对数后可解得

$h-1<{\log }_2\left(n+1\right)\le h$ 或 $h-1\le {\log }_{2}n<h$

即

$h=\lceil {\log }_2\left(n+1\right)\rceil$ 或 $h=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$

由此可知，第$i$个结点所在层次为$\lceil {\log }_2\left(i+1\right)\rceil$或$\lfloor {\log }_{2}i\rfloor +1$。

常见考点2：对于完全二叉树，可以由结点数$n$推出度为$0$、$1$和$2$的结点个数$n_0$、$n_1$和$n_2$。

由之前的结论可知，完全二叉树最多只有一个度为$n$的结点，即$n_1=0$或$1$。
且$n_0=n_2+1$，则$n_0+n_2=2n_2+1$必为奇数。
若完全二叉树有$2k$（偶数）个结点，则必有$n_1=1$，$n_0=k$，$n_2=k-1$
若完全二叉树有$2k-1$（奇数）个结点，则必有$n_1=0$，$n_0=k$，$n_2=k-1$

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二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

二叉树的顺序存储是指用一组连续的存储单元依次自上而下、自左而右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为$i$的结点元素存储在一维数组下标为$i-1$的分量中。
依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系。这样既能最大可能地节省空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

#define MaxSize 100
typedef struct TreeNode {
	int value;//结点中的数据元素
	bool isEmpty;//结点是否为空
}TreeNode;
TreeNode t[MaxSize];//静态顺序存储二叉树
int n;//记录结点总数

void TreeInit() {//初始化
	for (int i = 0; i < MaxSize; ++i)
		t[i].isEmpty = true;//将每个结点状态设为空
	return;
}
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用这种方式存储的完全二叉树，对第$i$个结点，其左孩子为$2i$，右孩子为$2i+1$，父节点为$\lfloor i/2\rfloor$，所在层次为$\lceil {\log }_2\left(i+1\right)\rceil$或$\lfloor {\log }_{2}i\rfloor +1$。
若该完全二叉树共有$n$个结点，则对第$i$个结点，判断其是否有左右孩子，以及是否为分支/叶子结点，可用以下逻辑实现：

bool Have_LeftChild(int i) {//判断结点i是否有左孩子
	return (2 * i <= n && !t[2 * i].isEmpty) ? true : false;
}

bool Have_RightChild(int i) {//判断结点i是否有右孩子
	return (2 * i + 1 <= n && !t[2 * i + 1].isEmpty) ? true : false;
}

bool Is_Leaf(int i) {//判断结点i是否为叶子结点
	return i > (n / 2) ? true : false;
}
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如果不是完全二叉树，依旧按照顺序存储的方式存储二叉树，则数组下标将不再能够表示各结点之间的逻辑关系。为解决这个问题，可以将二叉树中的结点编号与完全二叉树一一对应，从而进行顺序存储。但是这样又会产生新的问题：假如一棵二叉树中除叶结点外的所有结点都只有右孩子，那么，若这棵二叉树深度为$h$，则它需要使用$2^h-1$大小的数组对所有结点进行存放，空间利用率非常非常低。因此，除了完全二叉树可以采用顺序存储结构，一般的二叉树通常采用的都是链式存储结构。

2.链式存储结构

由于顺序存储的空间利用率较低，因此二叉树一般都采用链式存储结构，用链表结点来存储二叉树中的每个结点。在二叉树中，结点结构通常包括若干数据域和若干指针域。二叉链表至少包含$3$个域：数据域$data$，左指针域$lchild$，右指针域$rchild$。实际运用中，还可以增加数据域或指针域比如增加一个指向父节点的指针，变成三叉链表的存储结构。
二叉树的链式存储结构描述如下：

typedef struct Elemtype {//复合数据域
	int value;//只有一个int类型
}Elemtype;
typedef struct BiTNode {//二叉链表结点
	Elemtype data;//数据域
	struct BiTNode* lchild, * rchild;//左、右孩子指针
//	struct BiTNode* parent;//父节点指针（根据实际需要决定是否添加）
}BiTNode, * BiTree;
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由二叉链表的性质，$n$个结点的二叉链表共有$n+1$个空指针域，这一部分可用于构造线索二叉树。
（计算方法：度为$2$的结点有$0$个空指针域，度为$1$的结点有$1$个空指针域，度为$0$的结点有$2$个空指针域。由此前的性质可知，当$n_1=1$时，$n_0=n/2$，空指针域数量为$1+2\ast n/2=n+1$；当$n_1=0$时，$n_0=(n+1)/2$，空指针域数量为$0+2\ast (n+1)/2=n+1$。故无论$n$的值为奇数还是偶数，$n$个结点的二叉链表的空指针域都为$n+1$个）

对根结点的初始化操作如下：

BiTree root = NULL;//定义一棵空树
void InitBiTree() {//初始化根结点
	root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
	root->data = { 1 };
//	root->parent = NULL;
	root->lchild = NULL;
	root->rchild = NULL;
	return;
}
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插入根结点的左孩子：可依照此逻辑完成对二叉树的构建。

void InsertRLChild() {//插入新节点（根结点的左孩子）
	BiTNode* p = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	p->data = { 2 };
	p->lchild = NULL;
	p->rchild = NULL;
	root->lchild = p;
//	p->parent = root;
	return;
}
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完整代码可以看我的Github：传送门

若要对二叉树进行遍历，只能从根结点开始，依次向下。在之后的章节里还会继续讨论这个问题。
408考研初试中，通常都是考察不带父指针的情况，即考察使用二叉链表存储二叉树。
若从$0$开始对结点进行编号，则对应的操作逻辑都需要进行更改。
以上。