算法3：前缀和_前缀和算法

目录

一、算法解释

二、一维数组求前缀和

例1：前缀和

二、二维数组求前缀和  ​

例2： 子矩阵的和

三、模板

四、相关习题 

激光炸弹

K倍区间

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一、算法解释

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，合理的使用前缀和，可以将某些复杂的问题简单化，从而降低时间复杂度。

作用：快速求出某段区间内元素的和。

注意：前缀和要求下标从1开始，可以避免下标的转换，对于a[0]的处理：赋值为0即可，从而S[1] = a[0] + a[1] = 0 + a[1] = a[1]；S[2] = a[0] + a[1] + a[2] = 0 + a[1] + a[2] = a[1] + a[2]。对于S[N]，a[N]数组可以定义为全局变量，这样a[0]初始值就为0。

局限：只能处理静态数组，即只能查询，不能修改。

二、一维数组求前缀和

例1：前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

解析：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N=100010;
 
int n,m; //数组长度为n，查询m次
int a[N]; //表示原数组
int s[N]; //表示前缀和数组
 
int mian()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin>>a[i];
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<s[r]-s[l-1];
    }
    
    return 0;
}

二、二维数组求前缀和  

如何求S(预处理)：

例2： 子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

解析： 

#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N=1010;
 
int n,m,q; //n行m列，q次询问
int a[N][N],s[N][N]; //a为矩阵，s为前缀和数组
 
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=m; j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    } 
    
    //求前缀和数组
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=m; j++){
            s[i][j]=s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1,y1; //左上角
        int x2,y2; //右下角
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        
        cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl;;
    }
    return 0;
}

三、模板

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

四、相关习题 

激光炸弹

地图上有 N 个目标，用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 Wi。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x，y轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式

第一行输入正整数 N 和 R，分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量，数据用空格隔开。

接下来 N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi分别代表目标的 x 坐标，y 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式

输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围

0≤R≤10的9次方
0<N≤10000
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000

输入样例：

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例：

1

解析：

①炸弹范围最大取到5001

②摧毁一个包含 R×R个位置的正方形内的所有目标(如下图)

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N=5010;
 
int n,m; //n是长，m是宽
int s[N][N]; //s表示前缀和数组和原数组
 
int main()
{
    int cnt,R; //有cnt个目标，炸弹范围为R
    cin>>cnt>>R;
    R=min(5001,R);
    
    n=m=R;
    while(cnt--)
    {
        int x,y,w; //x,y表示位置，w表示价值
        cin>>x>>y>>w;
        x++,y++;
        n=max(n,x),m=max(m,y);
        s[x][y]+=w;
    }
    
    //预处理前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
        }
    }
    
    int res=0;
    
    //枚举所有边长是R的矩形，枚举(i,j)为右下角
    for(int i=R;i<=n;i++){
        for(int j=R;j<=m;j++){
            res=max(res,s[i][j]-s[i-R][j]-s[i][j-R]+s[i-R][j-R]);
        }
    }
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}

K倍区间

给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围

1≤N,K≤100000
1≤Ai≤100000

输入样例：

5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

6

 解析：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
comst int N=100010;
 
int n,k; //数列长度为n，求k的倍数
LL s[N]，cnt[N]; //s为前缀和数组，cnt为余数数组
 
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        s[i]+=s[i-1];
    }
    
    LL res=0;
    cnt[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        res += cnt[s[i]%k];
        cnt[s[i]%k]++;
    }
    
    cout<<res;
    
    return 0;
}