matlab矩阵处理_橡皮鸭小队长

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一、特殊矩阵

通用性的特征矩阵

• zeros函数：产生全0矩阵。

• ones函数：产生全1矩阵。

• eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵为方阵时，得到一个单位矩阵。

• rand函数：产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。

• randn函数：产生均值为0，方差为1 的标准正态分布随机矩阵。
  zeros函数的调用格式
  zeros(m):产生m×m零矩阵。
  zeros(m,n):产生m×n零矩阵。
  zeros(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

   >> A = zeros(2,3)
   
   A =
   
        0     0     0
        0     0     0
   
   >> zeros(size(reshape(A,3,2)))
   
   ans =
   
        0     0	
        0     0
        0     0
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  11
  12
  13
  14

例：首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）。

>> A = fix(10+(99-10+1)*rand(5));
>> B = 0.6+sqrt(0.1)*randn(5);
>> C = eye(5);
>> (A+B)*C == C*A+B*C

ans =

  5×5 logical 数组

   1   1   1   1   1
   1   1   1   1   1
   1   1   1   1   1
   1   1   1   1   1
   1   1   1   1   1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

*rand函数：产生（0，1）开区间均匀分布的随机数x。
fix(a+(b-a+1)x):产生[a,b]区间上分布均匀的随机整数。
randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
$\mu +\sigma x$：得到均值为$\mu$、方差为${\sigma }^2$的随机数。

用于专门学科的特殊矩阵

• 魔方矩阵——Magic Square

   >> M = magic(3)
   
   M =
   
        8     1     6
        3     5     7
        4     9     2
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7

n阶魔方矩阵由1，2，3，……$n^2$共$n^2$个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
n阶魔方阵每行每列元素的和为$(1+2+3+\dots \dots +n^2)/n=(n+n^3)/2$。
Matlab函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。
例： 产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和。

>> M = magic(8);
>> sum(M(1,:))

ans =

   260

>> sum(M(:,1))

ans =

   260
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

• 范德蒙矩阵
  在Matlab中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范德蒙矩阵。

    >> A = vander(1:5)
   
   A =
   
        1     1     1     1     1
       16     8     4     2     1
       81    27     9     3     1
      256    64    16     4     1
      625   125    25     5     1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9

• 希尔伯特矩阵
  生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

   >> format rat%设置输出格式为有理数
   >> H=hilb(4)
   
   H =
   
          1              1/2            1/3            1/4     
          1/2            1/3            1/4            1/5     
          1/3            1/4            1/5            1/6     
          1/4            1/5            1/6            1/7   
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9

• 伴随矩阵
  Matlab生成伴随矩阵的函数是compan§，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。
  例如，生成多项式$x^3-2x^2-5x+6$的伴随矩阵。

   >> A = compan(p)
   
   A =
   
          2              5             -6       
          1              0              0       
          0              1              0   
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7

• 帕斯卡矩阵
  例：生成5阶帕斯卡矩阵，验证它的逆矩阵的所有元素也为整数。

   >> format rat
   >> P = pascal(5)
   
   P =
   
          1              1              1              1              1       
          1              2              3              4              5       
          1              3              6             10            15       
          1              4             10             20           35       
          1              5             15             35           70       
      
   
   >> inv(P)
   
   ans =
   
          5            -10             10             -5              1     
        -10             30            -35             19             -4
         10            -35             46            -27            6
         -5             19            -27             17            -4
          1             -4              6             -4            1
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  11
  12
  13
  14
  15
  16
  17
  18
  19
  20
  21

二、矩阵变换

对角阵

对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

1. 提取矩阵的对角线元素
   diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
   diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

2. 构造对角矩阵
   diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
   diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
   例：建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，……，第五行乘以5。

   >> A = [7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
   
   		A =
   
     1 至 4 列
   
          7              0              1              0       
          3              5              7              4       
          4              0              3              0       
          1              1              9              2       
          1              8              5              2       
   
     5 列
   
          5       
          1       
          2       
          3       
          9       
   
    >> D = diag(1:5);
    >> D*A
   
   ans =
   
     1 至 4 列
   
          7              0              1              0       
          6             10             14              8       
         12              0              9              0       
          4              4             36              8       
          5             40             25             10       
   
     5 列
   
          5       
          2       
          6       
         12       
         45   
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8
   9
   10
   11
   12
   13
   14
   15
   16
   17
   18
   19
   20
   21
   22
   23
   24
   25
   26
   27
   28
   29
   30
   31
   32
   33
   34
   35
   36
   37
   38
   39
   40

三角阵

上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为0的矩阵。
下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的矩阵。

1. 上三角矩阵
   triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
   triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

    >> triu(ones(4),-1)
   
   ans =
   
        1     1     1     1
        1     1     1     1
        0     1     1     1
        0     0     1     1
   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7
   8

2. 下三角矩阵
   提取函数为tril，用法与tiru相同。

矩阵的转置

转置运算符为小数点后接单引号（.’）。
共轭转置，运算符为单引号（’），在转置的基础上取每个数的复共轭。
实矩阵的转置与共轭转置结果一样。

>> A = [1,3;3+4i,1-2i]

A =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i
   3.0000 + 4.0000i   1.0000 - 2.0000i

>> A.'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 4.0000i
   3.0000 + 0.0000i   1.0000 - 2.0000i

>> A'

ans =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 - 4.0000i
   3.0000 + 0.0000i   1.0000 + 2.0000i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转$90°$的k倍，当k为1时可省略。

>> A = [1,3,2;-3,2,1;4,1,2]

A =

     1     3     2
    -3     2     1
     4     1     2

>> rot90(A)

ans =

     2     1     2
     3     2     1
     1    -3     4

>> rot90(A,2)

ans =

     2     1     4
     1     2    -3
     2     3     1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

矩阵的翻转

fliplr(A)：对矩阵Ａ实施左右翻转。
flipud(A)：对矩阵Ａ实施上下翻转。
例：验证魔方阵主对角线、副对角线元素之和相等。

A = magic(5);
D1 = diag(A);%提取A的主对角线元素
sum(D1)

ans =

65
1

B = flipud(A);
D2 = diag(B);
sum(D2)

ans =

65
1

矩阵的求逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB＝BA＝I（I为单位矩阵），则称B与A互为逆矩阵。
inv(A)：求方阵A的逆矩阵。
例：用求逆矩阵的方法解线性方程组。
{ x + 2 y + 3 z = 5 x + 4 y + 9 z = − 2 x + 8 y + 27 z = 6

$$\begin{cases} x+2y+3z=5\\ x+4y+9z=-2\\ x+8y+27z=6 \end{cases}$$ ⎩⎪⎨⎪⎧​x+2y+3z=5x+4y+9z=−2x+8y+27z=6​
在线性方程组$Ax=b$两边各左乘$A^{-1}$，有$A^{-1}Ax=A^{-1}b$，由于 A