MATLAB基础篇——微积分应用_matlabf(x)=ln(x+1)与g(x)=sin2x

函数极限

limit函数：
limit(f,x,a,‘left’)
limit(f,x,a,‘right’)
limit(f,x,a)
limit(f)

含有符号对象的函数表达式f，a为极限点，’left’,'right’表示左，右极限，如果是双侧极限的话省略该参数，只有一个参数时指函数趋于0的极限，不建议省略太多参数，尽量写最完整的参数形式，不同版本省略参数容易出错。
例子：
$(1)li{m}_{x\to +\infty }(1+a/x{)}^x$
$(2)li{m}_{x\to a}\frac{tanx-tana}{x-a},(0<a<\pi /2)$

$(3)li{m}_{x\to 2}\frac{(3x+2{)}^{1/3}-2}{x-2}$
$(4)li{m}_{n\to \infty }(1-\sqrt{(}\frac{2n-1}{2n}))$

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syms x a
f=(1+a/x)^x;
T1=limit(f,x,inf,'left')

clear
syms x a
f=(tan(x)-tan(a))/(x-a);
T2=limit(f,x,a)

clear
syms x
f=((3*x+2)^(1/3)-2)/(x-2);
T3=limit(f,x,2)

clear
syms n
f=n*(1-sqrt((2*n-1)/2/n));
T4=limit(f,n,inf)

%结果
 
T1 =
 
exp(a)
 
 
T2 =
 
tan(a)^2 + 1
 
 
T3 =
 
1/4
 
 
T4 =
 
1/4
 


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导数

diff函数
diff(f,x,n) 表示求函数f关于变量x的n阶导数，n=1时可省略，f和x都使用符号对象

例子
$(1)$求函数$y=ln(\frac{x+2}{1-x})$的一阶和三阶导数
$(2)y=ln(\frac{1}{x^2}+e^{1/x})+arctan(1-x^2),求dy/dx$
$(3)y=arctan(x^3+2)+ln(\sqrt{(}\frac{x-1}{x+1}))，求dy/dx$
$(4)y=x^2{e}^{-x}+(sinx{)}^{2x},求d^{2}y/d{x}^2$

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clc
%T1
syms x
f=log((x+2)/(1-x));
T1_dy=diff(f,x)
T1_d3y=diff(f,x,3)

%T2
f=log(1/x/x+exp(1/x))+atan(1-x^2);
T2_dy=diff(f,x)

%T3
f=atan(x^3+2)+log(sqrt((x-1)/(x+1)));
T3_dy=diff(f,x)

%T4
f=x^2*exp(-x)+sin(x)^(2*x);
T4_d2y=diff(f,x,2)



%结果
 
T1_dy =
 
((1/(x - 1) - (x + 2)/(x - 1)^2)*(x - 1))/(x + 2)
 
 
T1_d3y =
 
(2*(1/(x - 1) - (x + 2)/(x - 1)^2)*(x - 1))/(x + 2)^3 - (2*(2/(x - 1)^2 - (2*(x + 2))/(x - 1)^3))/(x + 2) - (2*(1/(x - 1) - (x + 2)/(x - 1)^2))/(x + 2)^2 + (2*(2/(x - 1)^2 - (2*(x + 2))/(x - 1)^3)*(x - 1))/(x + 2)^2 + ((6/(x - 1)^3 - (6*(x + 2))/(x - 1)^4)*(x - 1))/(x + 2)
 
 
T2_dy =
 
- (2*x)/((x^2 - 1)^2 + 1) - (exp(1/x)/x^2 + 2/x^3)/(exp(1/x) + 1/x^2)
 
 
T3_dy =
 
(3*x^2)/((x^3 + 2)^2 + 1) + ((1/(x + 1) - (x - 1)/(x + 1)^2)*(x + 1))/(2*(x - 1))
 
 
T4_d2y =
 
2*exp(-x) - 4*x*exp(-x) + 2*log(sin(x))*(2*log(sin(x))*sin(x)^(2*x) + 2*x*cos(x)*sin(x)^(2*x - 1)) + x^2*exp(-x) + 2*cos(x)*sin(x)^(2*x - 1) + 2*x*cos(x)*(2*log(sin(x))*sin(x)^(2*x - 1) + cos(x)*sin(x)^(2*x - 2)*(2*x - 1)) - 2*x*sin(x)*sin(x)^(2*x - 1) + (2*cos(x)*sin(x)^(2*x))/sin(x)
 
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还可以利用diff求偏导数，参数方程导数，隐函数方程导数。
$z=f(x,y),\partial z/\partial x=diff(f,x)$
$y=y(t),x=x(t),dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=diff(y,t)/diff(x,t)$
$F(x,y)=0,dy/dx=-F_x/F_y=-diff(F,x)/diff(F,y)$

定积分与不定积分

int函数（不定积分与定积分）和quad函数（定积分的数值计算），int函数是先求出函数的原函数，如果求定积分，再在原函数的基础上按照牛顿——莱布尼茨公式求得定积分的值
int(f) ——计算函数f关于默认变量的不定积分
int(f,x) ——计算函数f关于变量x的不定积分
int(f,x,a,b) ——计算函数f关于变量x从a到b的定积分
函数f不用句柄变量，最好使用符号对象，

quad(f,a,b) ——数值积分 一般用函数文件，f为@函数名

例子
(1)$\int (x^5+x^3-\sqrt{x}/4)dx$
(2)${\int }_0^{1}x{e}^x/(1+x{)}^{2}dx$
(3)${\int }_{-2}^{-1}\frac{1}{x\sqrt{(}{x}^2-1)}dx$
(4)${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$
(5)${\int }_0^{\pi }\frac{xsin(x)}{1+cos(x{)}^2}dx$
(6)${\int }_{-1}^{1}g(x)dx$,$g(x)=1+x^{2}cos(x),x<=0,g(x)=e^{-x}sin(x),x>0$

% 不定积分与定积分
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clc
%T1
syms x
f=x^5-x^3-sqrt(x)/4;
int(f,x)

%T2
clear
syms x
f=x*exp(x)/(1+x)^2;
int(f,x,0,1)

%T3
clear
syms x
f=1/x/sqrt(x^2-1);
int(f,x,-2,-1)

%T4
clear 
syms x
f=1/(x^2+1)/(x^2+4);
int(f,x,-inf,inf)

%T5
clear 
syms x
f=x*sin(x)/(1+cos(x)^2);
int(f,x,0,pi)   %int((x*sin(x))/(cos(x)^2 + 1), x, 0, pi) ——说明求不出了

quad(@fun,0,pi)   %注意函数运算符使用点运算，quad是数值积分，矩阵间运算存在维数问题

clear
%T6
quad(@g,-1,0)+quad(@g,0,1)  %分段函数的积分
clear 
syms x 
f1=1+x^2;
f2=exp(-x);
int(f1,x,-1,0)+int(f2,x,0,1)


%结果

 
ans =
 
x^6/6 - x^(3/2)/6 - x^4/4
 
 
ans =
 
exp(1)/2 - 1
 
 
ans =
 
-pi/3
 
 
ans =
 
pi/6
 
 
ans =
 
int((x*sin(x))/(cos(x)^2 + 1), x, 0, pi)
 

ans =

    2.4674


ans =

    1.4850


ans =

    0.8586

 
ans =
 
7/3 - exp(-1)
 

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二重积分与三重积分

通过Fubini定理和特征函数将二重积分化成二次积分来计算，嵌套使用int函数即可
三重积分也是这样。此外，还可以通过坐标变换（eg极坐标下的二重积分）简化积分。这些是高等数学（数学分析/微积分）的内容了。
例子

曲线积分

第一型曲线积分，先对曲线进行参数化，将曲线积分转化为定积分，再用int函数计算
对曲线进行参数化
平面曲线：
$r:t\to r(t)=(x(t),y(t)),t\in [a,b]$,
${\int }_{L}fds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(}{x}^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)dt$
空间曲线：
$r:t\to r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t\in [a,b]$,
${\int }_{L}fds={\int }_a^{b}f(x,y,z)\sqrt{(}{x}^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2)dt$

特殊地,$y=g(x)$
${\int }_{L}fds={\int }_a^{b}f(x,g(x))\sqrt{(}1+g^{\prime }(x{)}^2)dx$

曲面积分

第一型曲面积分，先对曲面进行参数化，将曲面积分转化为二重积分，再转化为二次积分，用int函数计算
参数化

对曲面进行参数化
$r:(u,v)\to \varphi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D$,
${\iint }_{\Sigma }fds={\iint }_{D}f(\varphi (u,v))\sqrt{(}EF-G^2)dudv,E=<{\varphi }_u,{\varphi }_u>,F=<{\varphi }_v,{\varphi }_v>,G=<{\varphi }_u,{\varphi }_v>$

特殊地，$z=g(x,y)$
${\iint }_{\Sigma }fds={\iint }_{D}f(x,y,z)\sqrt{(}1+g_x^2+g_y^2)dxdy$

级数

1.级数的收敛性及级数求和

$symsum(u_n,n,a,b)$ 其中$u_n$为级数通项，$n$为求和变量，计算数项级数${\sum }_a^b{u}_n$，若级数收敛，则返回和，发散求得的和为inf或NaN，因此利用该函数可以同时解决求和问题和收敛问题

例子
$(1)s1={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2^n},s2={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(2n+1)}$
$(2)s1={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{sinx}{n^2},s2={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$

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%常数项级数
syms n
u1=(2*n-1)/2^n;
u2=1/n/(2*n+1);
s1=symsum(u1,n,1,inf)
s2=symsum(u2,n,1,inf)

%函数项级数
clear
syms n x
f1=sin(x)/n/n;
f2=(-1)^(n-1)*x^n/n;
s1=symsum(f1,n,1,inf)
s2=symsum(f2,n,1,inf)

%结果
 
s1 =
 
3
 
 
s2 =
 
2 - 2*log(2)
 
 
s1 =
 
(pi^2*sin(x))/6
 
 
s2 =
 
piecewise(x == -1, -Inf, abs(x) <= 1 & x ~= -1, log(x + 1))
 
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2.函数的泰勒展开

taylor(f,x,a,‘order’,n)——函数f在a处展开，x是自变量，即展开为(x-a)的幂级数，展开项数为n，即n-1次
taylor(f,x,a)——默认展开6项，即5次幂
taylor(f,x)——默认在0处展开，即麦克劳林展开
taylor(f)

例子
(1)将$sin(x)$展开5次和19次
(2)将$1/(x^2+5x-3)$展开为$(x-2)$的幂级数

%T1
clear
clc
syms x
f=sin(x);
T11=taylor(f,x)
T12=taylor(f,x,'order',20)

%T2
clear
syms x
f=1/(x^2+5*x-3);
taylor(f,x,2)

%结果
 
T11 =
 
x^5/120 - x^3/6 + x
 
 
T12 =
 
- x^19/121645100408832000 + x^17/355687428096000 - x^15/1307674368000 + x^13/6227020800 - x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x
 
 
ans =
 
(70*(x - 2)^2)/1331 - (9*x)/121 - (531*(x - 2)^3)/14641 + (4009*(x - 2)^4)/161051 - (30240*(x - 2)^5)/1771561 + 29/121
 
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微分方程和微分方程组的解析解

dsolve函数
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件1’，…,‘初始条件m,'自变量’)，
记号：在表达微分方程时，用字母D表示求导，D2,D3等表示求取高阶导，后面的字母为因变量，自变量可以指定，也可以缺省由系统选定
例如微分方程$d^{2}y/d{x}^2=0$,表示为 $D2y=0$

例子
$(1)dy/dx=1/(x+y)$
$(2)y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=0$
$(3)dx/dt+5x+y=e^t,dy/dt-x-3y=e^{2t}$
$(4)dx/dt+2x-dy/dt=10cost,x{|}_{t=0}=2，dx/dt+dy/dt+2y=4e^{-2t},y{|}_{t=0}==0$——求特解

clear
clc
%T1
y=dsolve('Dy=1/(x+y)','x')

%T2
y=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','x')

%T3

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')

%T4
[x,y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t)','Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0','t')

%结果
y =
 
- x - 1
 
 
y =
 
            C21
 C20*exp(C19*x)
 
 
x =
 
exp(t*(15^(1/2) - 1))*(C22 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*((7*exp(t))/12 + 15^(1/2)/165 + (3*15^(1/2)*exp(t))/20 + 1/22))*(15^(1/2) - 4) - exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(C23 - exp(2*t + 15^(1/2)*t)*((7*exp(t))/12 - 15^(1/2)/165 - (3*15^(1/2)*exp(t))/20 + 1/22))*(15^(1/2) + 4)
 
 
y =
 
exp(t*(15^(1/2) - 1))*(C22 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*((7*exp(t))/12 + 15^(1/2)/165 + (3*15^(1/2)*exp(t))/20 + 1/22)) + exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(C23 - exp(2*t + 15^(1/2)*t)*((7*exp(t))/12 - 15^(1/2)/165 - (3*15^(1/2)*exp(t))/20 + 1/22))
 
 
x =
 
4*cos(t) - 2*exp(-2*t) + 3*sin(t) - 2*exp(-t)*sin(t)
 
 
y =
 
sin(t) - 2*cos(t) + 2*exp(-t)*cos(t)

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