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● ·几何解释:向量乘以标量的效果是以标量的大小缩放向量的长度,负值则方向相反。
向量的长度。结果为一个标量。
将一个普通的向量进行标准化的到的。
标准化向量只表示了向量的方向,剔除了向量的大小。(比如法线)
计算:
标准化向量 = 向量 / 模长
且有:a // b (平行), 则 a / ||a|| = b / ||b||,a,b !=0
各个分量都是0的向量,
表示没有方向,大小为0的向量。
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
若:b - a = c
||b - a|| = || c ||
即:b到a的距离等于c的模长。
点乘的结果为一个标量。
(a1, a2) * (b1, b2) = (a1 * b1 + a2 * b2)
满足:交换律 a * b = b * a
不满足: a * b * c != a * c * b ,
类似的: U * V * U != U * U * V = U^2 * V
可发现:两向量dot结果为标量,3向量dot结果为矢量…
点乘的结果描述了两个向量的相似程度(方向接近程度),点乘的夹角越小,两个向量越接近。
a * b = ||a|| * ||b|| * cosX, X为向量夹角
可得向量间夹角为:cosX = (a * b) / (||a|| * ||b||)
即:cosX = norma(a) * norma(b), norma(a)表示a的标准化向量
应用:
兰伯特光照模型,通过光照的反方向和模型法线方向夹角计算物体表面亮度。得出的值表示 模型迎光的夹角
向量V在任意向量n上的投影向量V//:
只要不是0向量就可投影,投影不关心n的大小(是否是单位向量,只关心方向)
可以理解为V在 n这个向量方向的投影。
推导过程:
向量叉乘是分量交叉然后相乘。仅用于在3D空间中的向量。
运算:
几何意义:
a × b = ||a||*||b|| * sinX
方向根据右手定则:
若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。
运算规律:
● 满足加法的分配律
a x (b + c) = a x b + a x c
● 不满足交换律,反交换律
a x b = - (b x a)
● 满足雅可比恒等式
a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0
参考:
3个向量叉乘简化为如下:
(a x b) x c = b * (a * c) - a * (b * c)
a x (b x c) = b * (a * c) - c * (a * b)
证明参考:
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