从零开始统计学 01 | 假设检验

一、提出假设

当面对两个选择时，抛硬币，总能奏效。就像曾小贤想用抛硬币来选择见不见胡一菲。

在统计学中，要确定最终的结果，需要先提出假设。

假设指的是当我们没有足够的证据支持一个结果时，先可以假定一个结果。这个事先给出的假定结果，就叫做原假设（或零假设, H₀），同时提出与之相对应的假设，叫做备择假设（H₁)。

对于曾小贤抛起的硬币，我们可以先假设它最终是正面（不见），作为原假设；反面（见）为备择假设。

怎么设定零假设和备择假设？

一般，原假设是需要收集证据来反对的假设（通过已有的知识，小概率发生的事件）；备择假设是收集证据来支持的假设。

有零假设，为什么还要设置备择假设？

90多年前，英国著名的统计学家哥色特（Student）曾举例解释过这个问题，他的主要思想就是人们往往都倾向于选择相信概率比较大的事件。

比如一些来自于正态总体的数据，现想检验它们的均值是不是等于a0？

假设得到检验的概率值为0.0001，虽然这个值很小，但是你不能认为这批数据的均值不等于a0，为什么呢？因为这时候你只有一个a0供你检验，概率值再小，也不能否认它发生的可能性。而此时，如果你再有一个“备胎”（值为a1）让你去检验，最后检验的概率值为0.05，比前面的值大很多，这时候你就会倾向于选择后面a1这个值，而认为原来的a0不真。所以，我们需要有“比较”，多一个“备胎”，多一份选择！（《数理统计学简史》）。

在实际的统计工作中会遇到不同的样本量和需求，对于不同的样本，我们需要提出不同的假设形式：

样本（Sample）：研究中实际观测或调查的一部分个体叫样本，这些个体的数目叫样本容量（sample size ），研究对象的全部称为总体。

对总体的规定：总体内所有观察单位必须是同质的。

对样本的规定：抽取样本的过程中，必须遵守随机化原则；样本的观察单位还要有足够的数量。

1.单个样本：

现在要确定一个样本值（θ）与设定的已知值（θ₀）的关系

零假设（H₀），备择假设（H₁)

• **单边检验I：**检验样本值与已知值相比，判断数轴一侧的大小关系
  

• **单边检验II：**检验样本值与已知值相比，判断数轴一侧的大小关系

  

• **双边检验：**检验样本值与已知值是否相等

  

2.两个样本

• 单边检验I：

  

• 单边检验II：

  

• 双边检验:

  

3.多个样本

下面以单细胞表达数据为例：

• 列分别代表基因，正常样本的5个细胞的重复样本，癌症样本5个细胞的重复样本

• 行代表每个基因在所有样本的FPKM值

我们如果要分析在正常和癌症样本的平均表达量是否一致，也就是双边检验。

首先提出假设：

• 原假设：该基因在两个细胞中的表达量相等，无差异（H0：μ1=μ2）
• 备择假设：该基因在两个细胞中的表达量不相等，有差异（H0：μ1≠μ2）

然后设定显著性阈值：

这里的阈值是用来判断统计分析得到p值，如果p小于阈值，证明有统计显著性，推翻原假设。这里阈值一般会选择0.05，即p<0.05。这个值越小越严格。

在设定显著性水平a作为阈值时，会遇到两类错误，导致结果错误：

• 第一类错误（I型错误，标记为α）：也叫“弃真”，上面提到的两组表达量平均值本来是相等的。但是在判断时，认为是结果有差异的，推翻了本来正确的原假设。
• 第二类错误（II型错误，标记为β）：也叫“取伪”，类似于上面，但是这里结果接收了错误的原假设。

这里的两类错误，如果想减少其中一种错误类型的发生，就会使另一种错误发生的概率增加。

如果想同时减少两种错误的发生，就需要增加样本容量，这就是做实验要增加重复样本的原因。

接下来，验证我们提出的假设：

我们一般在检验时需要根据某种分布，求出数据对应的统计量，然后据此判断该值是否落入拒绝域（拒绝原假设的取值范围）中。

那么我们看看目前有哪些分布和检验方法，

二、选择检验方法

2.1 正态分布

这是在统计学中大名鼎鼎的一种分布，最早由德国的天文学家Moivre提出。后来，德国数学家Gauss首先将其应用于天文学研究，故正态分布也叫“高斯分布”。高斯的这项工作对后世的科学研究影响极大，以至于德国10马克的钞票上印的是高斯头像和正态分布。

正态分布的函数表达式：

可以描述为，随机变量X服从一个位置参数μ，尺度参数σ的概率分布，记做，或X服从正态分布。一般，μ和σ都是常数，μ代表数据的均值，σ代表数据的标准差。

R语言绘制正态分布：

我们可以从图中看到，均值μ决定正态分布的峰值位置，标准差σ决定分布的矮胖，σ越大越胖。

R代码：

set.seed(1)
x <- seq(-10,15,length.out = 1000)
# 计算N~(-2,1)
y1 <- dnorm(x, -2,1)
# 计算N~(2,1)
y2 <- dnorm(x, 2, 1)
# 计算N~(2,4)
y3 <- dnorm(x, 2, 2)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(-8,10))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#95afc0")
legend("topright", c("X~N(-2,1)", "X~N(2,1)", "X~N(2,4)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#95afc0"), lty = c(1),text.font = 12)

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2.2 t分布（t-distribution）与T检验

t分布由Gosset于1908年首先发表，因为当时他在都柏林的健力士酿酒厂工作的原因，不能以他本人的名义发表，所以论文用学生（Student）这一笔名，因此该分布也成为称为student分布。t分布是正态分布的一种特殊情况。

t分布的函数表达式：

可以描述为，当X服从正态分布N(0,1)时，Y服从，X于Y相互独立，自由度为n的t分布，记为。

R语言绘制t分布：

不难看出，t分布和正态分布几乎一样。当自由度n趋于无穷大时，t分布会趋于正态分布。因此，针对小样本数据，可以应用t分布。

set.seed(1)
x <- seq(-10,15,length.out = 1000)
# 计算X~t(1)
y1 <- dt(x, 1)
# 计算X~t(10)
y2 <- dt(x, 10)
# 计算X~t(100)
y3 <- dt(x, 100)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(-8,8), ylim= c(0, 0.5))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#6ab04c")
legend("topright", c("X~t(1)", "X~t(10)", "X~t(100)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#6ab04c"), lty = c(1),text.font = 12)
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如果现在已正态分布或t分布为依据进行假设检验，该检验方法就叫t检验。

2.3 F分布（F-distribution）与方差分析

F分布，由英国统计学家R.A.Fisher提出，用Fisher的第一个字母F来命名。F分布有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的显著性检验中都有着重要的地位。

假设有两个独立的随机变量，这两个变量都分别符合卡方分布，它们相除以后的比率，我们就用F分布来描述。

F分布的函数表达式：

可以描述为，当样本 ，，X和Y相互独立，随机变量F服从自由度为(n, m)的F分布，记为F~F(n, m)

R语言绘制F分布

R代码如下

set.seed(1)
x <- seq(0,10,length.out = 1000)
# 计算F~F(1, 1)
y1 <- df(x, 1, 1)
# 计算F~F(4, 1)
y2 <- df(x, 4, 1)
# 计算F~F(3, 10)
y3 <- df(x, 3, 10)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(0,10), ylim= c(0, 1))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#6ab04c")
legend("topright", c("F~F(1, 1)", "F~F(4, 1)", "F~F(3, 10)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#6ab04c"), lty = c(1),text.font = 12)
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与F分布相对应的是方差分析，该方法可以评估数据间的波动程度。目的在于检验两个或多个样本均值是否有统计学意义。

2.4 卡方分布 （chi-square distribution）与卡方检验

卡方分布是由Abbe于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来。

如果有n个独立的随机变量，这些变量都服从标准正态分布，那么这些随机变量的平方和会构成一个新的随机变量，这个随机变量分布规律就是卡方分布

卡方分布的函数表达式：

可以描述为，当样本 ，其中i=1,2,…,n，Y服从自由度为n的卡方分布，记为 。

R语言绘制卡方分布

set.seed(1)
x <- seq(0,10,length.out = 1000)
# 计算Y~x(1)
y1 <- dchisq(x, 1)
# 计算Y~x(5)
y2 <- dchisq(x, 5)
# 计算Y~x(10)
y3 <- dchisq(x, 10)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(0,10), ylim= c(0, 1))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#6ab04c")
legend("topright", c("Y~x(1)", "Y~x(5)", "Y~x(10)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#6ab04c"), lty = c(1),text.font = 12)
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如果现在已卡方分布为依据进行假设检验，该检验方法就叫卡方检验。

卡方检验

应用：

• 检验数据符合哪种分布，包括正态分布，泊松分布，卡方分布等
• 检验列联表数据

列联表，又叫交互分类表。是指同时依据两个变量的值，将所研究的个案分类。我们会得到两个变量的分组，然后比较各组的分布情况，寻找变量间的关系。

比如，依据是否吸烟与是否患肺癌进行分类，然后可以通过比较这些数值，寻找吸烟与患肺癌之间是否相关。

2.4.1 检验数据是否服从某种分布

现在，统计到一个班级里所有人的体重，我们看看是否符合正态分布：

2.4.1.1 使用绘图

查看数据密度分布与正态分布曲线的一致性

蓝色为数据密度分布曲线，红色为正态分布曲线，通过观察，我们会发现这组数据虽然与标准分布有区别，但是总体是符合正态分布的。

w <- c(63.0, 62.1, 63.8, 57.0, 56.2, 71.1, 72.0, 63.5, 74.2, 67.2, 65.4, 80.1, 66.8, 51.5, 48.4, 54.2, 58.9, 68.3, 65.1)
hist(w, freq = FALSE)
lines(density(w), col = "blue")
x <- (min(w)):(max(w))
lines(x, dnorm(x, mean(w), sd(w)), col = "red")
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也可以使用qq图判断：

可以发现样本数据偏离直线不远，判断数据基本来自于正态分布。

d <- c(100, 63.8, 56.2, 71.1, 72.0, 63.5, 74.2, 67.2, 65.4, 80.1, 66.8, 51.5, 48.4, 54.2, 58.9, 68.3, 65.1)
qqnorm(d)
qqline(d)
1
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3

2.4.1.2 使用卡方检验

d <- c(63.8, 56.2, 71.1, 72.0, 63.5, 74.2, 67.2, 65.4, 80.1, 66.8, 51.5, 48.4, 54.2, 58.9, 68.3, 65.1)
# 卡方检验
chisq.test(d)
1
2
3

结果得出p-value = 0.3107，p>0.05，认为该班体重分布符合正态分布

2.4.1.3 使用Kolmogorov-Smirnov检验

d <- c(63.8, 56.2, 71.1, 72.0, 63.5, 74.2, 67.2, 65.4, 80.1, 66.8, 51.5, 48.4, 54.2, 58.9, 68.3, 65.1)
ks.test(d, "pnorm", mean(d), sd(d))
# 如果数据中有重复值，会报错：Kolymogorov - Smirnov检验里不应该有连结
# 需要在数据加点噪音,不会影响数据分布和检测结果
ks.test(jitter(d),"pnorm",mean(d),sd(d))
1
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5

结果得到p-value = 0.7857，p>0.05，认为该班体重分布符合正态分布

2.4.2 检验列联表数据

x <- c(60, 3, 32, 11)
dim(x) <- c(2,2)
chisq.test(x)
1
2
3

得到p-value = 0.004855，p<0.05，可认为患肺癌与吸烟有关

三、根据P值，得到结论

依据不同的数据分布，选择合适的检验方法，我们会得到相应的P值，最终我们会根据P值来确定最后的结论。需要注意的是：

• 结论不能是绝对的，结论中最好不包含“一定，肯定”等，这样的结论不严谨
• 显著性水平a的大小用来确定拒绝区间，进而确定是否拒绝原假设，也就是说数据间是否有差异，是定性用的。通过它的值是不能确定差异大小的，要定量的话，需要用到差异倍数（Fold Change，FC）值。可以使用火山图绘制P值与FC值来筛选并可视化最终的差异数据。
• 显著性水平a，也就是P值确定的阈值，0.05, 0.01，这个值是约定俗成的规则，不是绝对的值。只要有足够的理由或文献支持，可以根据自己的需求来调节

使用统计学来分析自然或社会规律的数据，只是为客观事物提供统计学意义的科学参考，并不代表事物一定会向结论发展或发生。但是，如果你想让你的结论为大众所接受，那你在采集和分析数据时，就应遵守数理统计学方法的规范，这才能使自己的结论建立在健全的科学基础上，得到公众的认可。陈希孺教授在《数理统计学简史》 中讲数理统计方法是一个中立性的工具，这“中立”的含义是指，它既不在任何问题上有何主张，也不维护任何利益或在任何学科中坚持任何学理。作为一个工具，谁都可以使用，若是谁不同意这种方法，可以不用它，而去做单纯定性式的讨论。

有时候，我们做的决定并不是为大众所接受的，而是取决于主体的，就像前面到曾小贤抛硬币做决定的同时内心还有段独白：

当面对两个选择时,抛硬币总能奏效,

并不是因为它总能给出对的答案,

而是在你把它抛在空中的那一秒里,

你突然知道你希望它是什么……